Föreläsning 27

13.22 Är tärningen defekt?

overline(underline(x))= antal 6:or från tärningen, overline(underline(x)) in "Bin"(n, p)
H_0: p = 1/6 symmetrisk tärning
H_1: p < 1/6 6:a händer för sällan.

Ett stickprov utförs med n=12 . x blev 0 .
P(overline(underline(x)) = 0 | p = 1/6) = (5/6)^12 (1/6)^0 ((12),(0)) = 0.112 => alpha = 0.112
:. H_0 kan inte förkastas, eftersom alpha är så högt.

Vi gör om testet. n=120, x = 8 => p^(**) = 8/120 = 1/15 = 0.067
Vi använder Mathematica för att beräkna felrisken exakt.
P(overline(underline(x)) <= 8 | p = 1/6) = "CDF[BinomialDistribution[120, 1/6], 8]" = F(8) ~~ 0.001
Alltså. H_0 kan förkastas, alpha=0.001 .

13.25

overline(underline(x))_i in Po(mu), n = 50
Testa H_0: mu = 0.2 mot H_1: mu > 0.2 .
Givet från uppgiften: Summan av observationerna sum x_i är 19 .
Vi utnyttjar satsen nedan

sum_1^n overline(underline(x))_i in Po(n*mu), overline(underline(x))_i in Po(mu)

Om H_0 sann så är Y in Po(10), Y = sum overline(underline(x))_i
P(Y >= 19) = 1-P(Y <= 18) = 1-"CDF[PoissonDistribution[10], 18]" = alpha ~~ 0.00718

H_0 förkastas med "p-value"=0.00718

Vi prövar att normalapproximera istället.
mu^(**) = 1/50 sum overline(underline(x))_i = "CGS" ~~ N(mu, sqrt(mu/50))

mu_("OBS")^(**) = 19/50 = 0.38

P(overline(overline(underline(x))) > 0.38) ~~ 1-phi((0.38-0.2)/color(red)(sqrt(0.38/(50)))) = 1-0.98030 = 0.0197
Rödmarkerat är felaktigt från Mats.

overline(overline(underline(x))) = N(0.2, sqrt(0.2/50)) => P(overline(overline(underline(x))) > 0.38) = 1-phi((0.38-0.2)/sqrt(0.2/50)) = 1-phi(2.846) = 1-0.99781 = 0.00219
Tveksamt resultat.

chi^2 -test

Kundenkät med tre glassar: A, B och C.
240 kunder får välja glass.
H_0: glassarna är lika populära. H_1: minst en av glassarna skiljer sig i popularitet.
Signifikansnivå: alpha=1%
k=3

Utfall: 30,68,112 , Förväntat är 80 på varje.

Q=(60-80)^2/80 + (68-80)^2/80 + (112-80)^2/80=19.6

13.35

500 trafikolyckor, klassifierade i lätta/svåra skador samt bälte/inget bälte.

Lätta med bälte: 101
Lätta utan bälte: 143
Svåra med bälte: 58
Svåra utan bälte: 198

H_0: skadhetsgraden och bälte är oberoende. H_1: ej oberoende.

Vi summerar:

Lätta skador: 244
Svåra skador: 256
Inget bälte: 341
Bälte: 159

Vi förutsätter att de är oberoende.

Lätta med bälte: 159*244/500 = 77.6
Lätta utan bälte: 244-77.6 = 166.4
Svåra med bälte: 159*256/500 = 81.4
Svåra utan bälte: 256-81.4 = 174.6

Q= sum_(k=1)^2 sum_(r=1)^2 (O_"kr"-E_"kr")^2/E_"kr" ~~ chi^2 (k-1)(r-1)

:. Q = (101 - 77.6)/77.6 + (166.4 - 143)^2/166.4 + (58-81.4)^2/81.4 + (174.6 - 198)^2/174.6 = 13.45 > chi_(0.0005)^2(1) = 12.1

Alltså, det har ingen kolleration, alpha = 0.0005 => H_0 förkastas.