Föreläsning 26

13.8

overline(underline(x))_i= grumlighet
overline(underline(x))_i in N(mu, 0.2)

Testar H_0: mu = 4.0 mot H_1: mu > 4.0, alpha=0.05

Testvariabel t(overline(underline(x))) = (overline(overline(underline(x)))-4.0)/(0.2/sqrt(n)) in N(0,1)

Förkasta H_0 om t(x) > lambda_0.05 = 1.6449 .

Stickprov ifrån boken ger overline(x)=4.1, n=10
t(x) = (4.1-4.0)/(0.2/sqrt(10)) = 1.58 < lambda_0.05 => H_0 kan inte förkastas.

:. Grumligheten är större i stickprovet än mu=4.0 , men inte statistiskt säkerställd.

Alternativ lösningmain.
overline(underline(x))_i in N(4.0, 0.2) om H_0 är sann iff overline(overline(underline(x))) in N(4.0, 0.2/sqrt(10))
P(overline(overline(underline(x))) > 4.1) = 1-phi((4.1-4.0)/(0.2/sqrt(10))) = 1-phi(1.58) = 0.057 > 5% => H_0 kan inte förkastas.

13.9

Styrkefunktionen

h(mu_1) = P(H_0 förkastas | H_0 sann )
h(mu_1) = P(t(overline(underline(x))) > 1.6449 | overline(overline(underline(x))) in N(mu_1, 0.2/sqrt(10)))
t(overline(underline(x))) = (overline(overline(underline(x))) - 4.0)/(0.2/sqrt(10)) > 1.6449 => overline(overline(underline(x))) > 4.0+1.6449*0.2/sqrt(10)
h(mu_1) = P(overline(overline(underline(x))) > 4.1040 | mu = mu_1) = 1-phi(1.6449+(4-mu_1)/(0.2/sqrt(10)))
h(3.8) = 1-phi(4.81) ~~ 0
h(4.3) = 1-phi(-3.09) ~~ 0.999

Hur många mätningar krävs för h(4.2)=0.999 ?
t(overline(underline(x))) = (overline(overline(underline(x)))-4.0)/(0.2/sqrt(n)) in N(0,1)
Förkasta H_0: mu=4.0 på alpha=5%
t(overline(underline(x)))>1.6449 iff overline(overline(underline(x)))>4.0+1.6449*0.2/sqrt(n)
h(4.2) = P(overline(overline(underline(x)))>4.0+1.6449*0.2/sqrt(n) | mu_1=4.2)
iff (4-4.2)/(0.2/sqrt(n)) + 1.6449 = -3.0902 iff n>=23

Förkasta H_0, alpha=5% om overline(x)>4.0+1.6449*0.2/sqrt(23) ~~ 4.0686
overline(x) > 4.104, n=10, alpha = 5%
overline(x) > 4.0686, n=23, alpha = 5%

13.15

overline(underline(x))_i= Kvicksilverhalt i gädda.
overline(underline(x))_i in (mu, sigma)

Testar H_=: mu=.9 mot H_1: mu > 0.9, alpha=5%
mu^(**)=overline(overline(underline(x))) in N(mu, sigma/sqrt(n))
sigma^(2^(**)) = S^2
Testvariabel t(overline(underline(x)))=(overline(overline(underline(x)))-0.9)/(5/sqrt(10)) in t(9) För att vi har en normalfördelning med okänd standardavvikelse.

Förkasta H_0 om t(overline(underline(x))) > t_0.05(9) = 1.83 .
Stickprovet ger ett medelvärde overline(x) = 0.97 och stickprovsavvikelse S=0.033015, n=10

=> t(x)=(0.97-0.9)/(0.33015/sqrt(10)) ~~ 0.6705 < 1.83 => H_0 kan inte förkastas.

b)

H_0: mu=1.1 mot H_1:mu<1.1
Testvariabeln är samma förutom att vi ändrar på mu .
t(overline(underline(x))) = (overline(overline(underline(x)))-1.1)/(S/sqrt(10)) in t(9)

Förkasta H_0 om t(overline(underline(x))) < -1.83 => t(x) = (0.97-1.1)/(0.33013/sqrt(10)) = -1.245 < -1.83 => H_0 kan inte förkastas.

Vi gör ett 90% konfidensintervall för mu :
mu in (overline(x) +- t_0.05 (9)*S/sqrt(10)) (90%)
mu in 0.97 +- 1.83*0.33013/sqrt(10) (90%)
mu in (1.161, 0.779) (90%)

13.21

Stickprov x: overline(underline(x))_i in N(mu_1, 0.3)
Stickprov Y: Y_j in N(mu_2, 0.4)

H_0: mu_1-mu_2=0, H_1: mu_1-mu_2!=0, alpha=0.01

(mu_1-mu_2)^(**) = overline(overline(underline(x)))-overline(Y) in N(mu_1-mu_2, sqrt(0.3^2/10 + 0.4^2/10))

t(overline(underline(x))) = (overline(overline(underline(x)))-overline(Y) - 0)/(sqrt((0.3^2+0.4^2)/10)) in N(0,1)
Förkasta H_0 om |t(overline(underline(x)))| = | (overline(overline(underline(x)))-overline(Y))/(sqrt((0.3^2+0.4^2)/10)) | > 2.5758 iff overline(x)-overline(Y)-2.578*sqrt(sigma)

h(0.6) = P( förkasta H_0 | mu_1-mu_2=0.6) = 1-P(-0.407 < overline(overline(underline(x)))-overline(Y)<0.407) = 1-(phi((0.407-0.6)/0.5/sqrt(10))) - phi((-0.407-0.6)/(0.5/sqrt(10))) )
= 1-(phi(-1.22)-phi(-6.36)) = phi(1.22) = 0.888