Föreläsning, 28 september, Sverrepåget

Ex. y[n+1]-y[n] = 2^n, y[0] = 2 iff y[n+1] = y[n] + 2^n, n >= 0   (Delta) Bestäm {y[n]}_(n=1)^4 för y[n] i Delta n = 0: y[0+1] = y[0]+2^0 = 2+1=3 => y[1] = 3 n = 1: y[1+1] = y[1]+2^1 = 3+2=5 => y[2] = 5 n = 2: y[2+1] = y[2]+2^2 = 5+4=9 => y[3] = 9 n = 3: y[3+1] = y[3]+2^3 = 9+8=17 => y[4] = 17 :. {y[n]}_(n=0)^4 = {2,3,5,9,17} Vad gäller för då n>=4? Ett matematiskt öga kan observera en gissning av resultaten; de är alla en potens av 2 plus 1. Med andra ord, y[n] = 2^n + 1 Kontroll! y[n+1] - y[n] = (2^(n+1)+1)-(2^n+1) = ... = 2^n = HL i ekvationen.
Nice! Även om man kan kontrollera på detta vis så behöver vi något mer systematiskt sätt att göra kontroller för stora n . Vi behöver för detta ändamål använda Z-transformen. Fourier var en fransk snubbe, Laplace likaså, men vem uppfann Z-transformen?? Det var en iransk snubbe Lotfi Zadeh. Z-transformen döptes förmodligen efter att han hade ett Z i efternamnet. Antag talföljd {x[n]}_(n=0)^oo, då är Z-transformen av x[n]: sum_(k=0)^oo x[n] z^-n = x[0]*z^-0 + x[1]*z^-1 + x[2]*z^-2 = X(z) (operator) rarr Z{x[n]} = X(z) Sverre poängterar att det är viktigt att z är dimensionslös.
Ex. {x[n]}_(n=0)^oo = {1,2,-5,0,0,0,...}; x[n] = delta[n] + 2delta[n-1] - 5delta[n-2] (kolla på Föreläsning 9 för definitionen av delta[n] ) Z{x[n]} = sum_(n=0)^oo x[n] z^-n = 1*z^-0 + 2*z^-1 - 5*z^-2 = 1+ 2/7 + 5/7^2 Anmärkning: Vi tittar endast på den "enkla" Z-transformen, den dubbla Z-transformen går från -oo till oo istället för 0 till oo Ex. x[n] = delta[n-n_0], n_0 >= 0 => Z{delta[n-n_0]} = sum_(n=0)^oo delta[n-n_0]*z^-n = z^(-n_0) Speciellt: Z{delta[n]} = 1 (jämför med L{delta(t)} = 1 ) Ex. Z{sigma[n]} = ? sigma[n] = {1, n>=0; 0, n < 0} => Z{sigma[n]} = sum_(n=0)^oo sigma[n]*z^-n = sum_(n=0)^oo z^-n = sum_(n=0)^oo (1/z)^n = lim_(N->oo) sum_(n=0)^N (1/z)^n = lim_(N->oo) ((1/z)^(N+1)-1)/(1/z - 1) = (0-1)/(1/z-1) = 1/(1-1/z) = z/(z-1) Antag |1/z| < 1: Z{sigma[n]*a^n} = z{a^n} = sum_(n=0)^oo a^n*z^-n = sum_(n=0)^oo (a/z)^n = ... = z/(z-a). Z12 Z{x[n]} = X(s) iff Z^-1{X(s)} = x[n] larr definition.
Är Z-transformen linjär? Vi tittar på fördröjning. Känd: Z{sigma[n]x[n]} = X(z) , Vi är intresserade av Z{sigma[n-n_0]x[n-n_0]} . Z{sigma[n-n_0]x[n-n_0]} = sum_(n=0)^oo sigma[n-n_0]x[n-n_0]*z^-n = [k = n-n_0 iff n = k+n_0] = sum_(k=0)^oo x[k] z^(-k+n_0) = sum_(k=0)^oo x[k] z^(-k)*z^(-n_0) = z^(-n_0) sum_(k=0)^oo x[k]*z^-k = z^(-n_0) X(z) , alltså så är Z-transformen linjär. Z{sigma[n-1]*2^n} = ? Z{2^n} = z/(z-2) (Z12) Då ska vi klämme denna i kostymen specifierad ovan. Z{sigma[n-1]*2^(n-1)*2} = 2*Z{sigma[n-1]*2^(n-1)} = 2*z^-1*z/(z-2) = 2/(z-2) Hur ser det då om vi tar Z{x[n+1]}? Antag Z{x[n]} = X(z) känd. Z{x[n+1]} = sum_(n=0)^oo x[n+1]*z^-n = [k = n+1 => n = k-1] = sum_(k=1)^oo x[k]*z^-(k-1) = z*sum_(k=1)^oo x[k]*z^-k Nu ska vi göra något som liknar kvadratkomplettering, vi lägger till och drar ifrån. "Z-komplettering" z(sum_(k=1)^oo x[k]*z^-k + x[0]*z^-0) - x[0]*z^-0 = z(X(z) - x(0)) = z*X(z) - z*x[0]
Ex. Lös differensekvationen y[n+1]-y[n] = 2^n, y[0] = 2 Z{y[n+1]-y[n]} = Z{2^n} iff Z{y[n+1]} - Z{y[n]} = Z{2^n} iff zY(z) - 2y[0] - Y(z) = z/(z-2) iff (z-1)Y(z) = z/(z-2)+2z = (z+2z(z-2))/(z-2) = (z+2z^2-4z)/(z-2) = (z(2z-3))/(z-2) iff Y(z) = (z(2z-3))/((z-1)(z-2)) Målet är Z^-1{z/(z-a)} = a^n . iff (Y(z))/z = (2z-3)/((z-1)(z-2)) = A/(z-1)+B/(z-2) => Y(z) = Az/(z-1) + Bz/(z-2) Viktigt att kostymen passar! iff y[n] = Z^-1{z/(z-2) + z/(z-1)} = Z^-1{z/(z-2)} + Z^-1{z/(z-1)} = 2^n+1 (precis som innan)
Ex. Lös y[n]-3y[n-1]=2^n, Givet y[n] = 0 för n < 0 (kausal utsignal) Låt n->n+1: y[n+1]-3y[n] = 2^(n+1) = 2*2^n Men! Vi har inget startvärde. Vi fixar till det med n = 0: y[0]-y[-1] = 2^0 iff y[0] = 1 Nu är vi "in business" igen och kan återanvända samme kostym som innan. Z{y[n+1]} - 3Z{y[n]} = 2Z{2^n} iff ZY(z) - zy[0] - 3Y(z) = 2*z/(z-2) iff (z-3)Y(z) = (2z)/(z-2)+z = (2z+z(z-2))/(z-2) iff Y(z) = z^2/((z-2)(z-3)) iff (Y(z))/z = z/((z-2)(z-3)) = (3(z-2)-2(z-3))/((z-2)(z-3)) Anm: här höftar vi till det med en fattigmans-partialbråksuppdelning = 3/(z-3) - 2/(z-2) iff Y(z) = 3z/(z-3) - 2z/(z-2) => y[n] = 3Z^-1{z/(z-3)} - 2Z^-1{z/(z-2)} = 3*3^n - 2*2^n = 3^(n+1) - 2^(n+1)