Frekvensfunktioner finns inte för alla funktioner. Det är endast intressant med frekvensfunk. för system som är stabila.
Antag given för något stabilt system. Då ger insignalen utsignalen
Impulssvar för system , kausalt s. Kausalt betyder att det som händer i en viss tid, påverkas av det som hänt innan. <insert better explaination here>
ex. Givet Motsvarande Diffekvation:
konvergerar inte.
Frekvensfunktion i just det här fallet var inte särskilt intressant. Däremot så hanterar Laplacetransformen detta perfekt.
Om vi istället vill lösa begynnelsevärdeproblemet:
Quiz: Rent praktiskt, är det vettigt att prata om termer som transienter och stationära delar i den här ekvationen?
Svar: (transienten) kommer att växa och "blåsa upp". Därför så är det praktiskt meningslöst att diskutera transient och stationär del av ekvationen.
Summan av kardemumman är att man inte alltid kan man använda Fouriertransformen (Frekvensfunktionen) till att analysera funktioner. En laplace kan dock alltid användas för att analysera en funktion, men applikationen är inte alltid densamma som frekvensfunktionen.
Vi avslutar laplacetransformen med att nämna lite begrepp som kommer i framtida kurser.
Sammansatta system - Blockschema.
och kända. Vad är för hela systemet?
Man kan ju tänka sig att inverstransformera och falta med , och sen fortsätta till och få dubbelintegral(cliffhanger: det kommer i flervariabelanalys), vilket är skojjigt men jag (sverre) vill ändå bespara er det.
s-domän:
Observera! påverkas av hela insignalen, och inte bara det som kommer i just den tiden som råkar vara.
Detta är precis som när man tar en öl. Berusningen är ju beroende av hur mycket jag har druckit innan, och inte hur mycket jag dricker i just det ögonblicket som jag mäter berusningshalten. - Sverre 2017
Nedanstående kommer inte på tentan, men kanske på projektet och i framtida kurser. Bra att känna till.
Vi är intresserade av för hela systemet.
Insignal för -blocket
Insatt får vi:
, och är då (per definition)
Tidsdiskreta signaler och system
LTID (Linjära, tidsinvarianta och diskreta system samt kausala) system.
Ex!
Deltagares tider i en springtävling:
T[1] = 10.37, T[2] = 10.47, T[3] = 10.13, ... T[8] = 10.24
Med tillräckligt bra instrument hade vi kunnat mäta oändligt antal decimaler.
Talföljd: , alltså en lista. Vad är då ?? Det makes no sense, detta för att talföljden är diskret.
Däremot så kan man ha en tidskontinuerlig funktion som man tar värden ifrån på intervallet . Detta ger att talföljden blir
, alltså en samlad (tids)diskret funktion x[n] definieras som:
Samplingsperiod. Ger talföljden:
Enhetsimpulsen:
I Mathematica heter
Obs! Inte Discreet. I svenskan har vi bara ett enda ord för båda begreppen. Kolla i din närmaste ordbok.
Enhetssteget: . Anmärkning: ej definierat för decimaltal.
, där den första ettan representerar .
Exponentialfunktion:
ex:
Sinus och cosinus:
samlas med perioden .
Anm: är ett dimensionslöst tal, detta tycker Sverre är viktigt och väldigt vitalt. (Normerad vinkelfrekvens)
ex.
samplas med
Egenskaper för systemet:
Linjärt: och
Tidsinvariant:
Det finns en kusin till laplacetransformen som hjälper oss vid snickring av partikulärlösningar, och den kallas för Z-transformen. Det går vi igenom nästa föreläsning.