Föreläsning 9

3.14

a) Bestäm C så att

Bestäm C så att f(x)={(c/sqrt(x+1), -1 < x < 1),(0, "annars"):}

Blir en täthetsfunktion för någon overline(underline(x))

int_-1^1 c/(sqrt(x+1)) dx = 1 iff C [2sqrt(x+1)]_-1^1 = 1 iff C=1/(2sqrt(1))

b)

P(overline(underline(x))) = int_0^1 1/(2sqrt2) 1/(sqrt(x+1)) dx = [sqrt(x+1)/(sqrt2)]_0^1

3.20

overline(underline(x)) = Längden av ett telefonsamtal
P(overline(underline(x)) > t) = e^-(lambda t)

Bestäm fördelningsfunktionen F_(underline(overline(x))) (t) .
F_(underline(overline(x))) (t) = P(underline(overline(x)) <= t) = 1-P(overline(underline(x)) > t) = 1-e^-(lambda t)

Täthetsfunktionen får vi genom att derivera den: f_(overline(underline(x))) (t) = F'_(underline(overline(x))) (t) = lambda e^-(lambda t)

Vad är sannolikheten att man talar mindre än 10 minuter?
P(1 < overline(underline(x)) <= 10) = F(10) - F(1) = int_1^10 lambda e^(-lambda t) dx, lambda = 2/3
1-e^-(20/3) - (1-e^-(2/3))

Ex.

Loraritmisk tranformation.
Antag att overline(underline(x)) in U(0,1), f_(overline(underline(x))) (x) = 1, 0<x<1
likformig fördelning.

Låt Y=-1/x ln(overline(underline(x))), lambda > 0
Bestäm F_Y (y) och f_Y (y)
Omega_Y = { y > 0 }

F_Y(y) = P(Y <= y) = P(-1/lambda ln(overline(underline(x))) <= 4) = P(overline(underline(x))>= e^-(lambda y)) = 1 - P(overline(underline(x)) <= e^(-lambda y) ) e^-(lambda y)

Y in Exp(lambda)

3.31

Vi mäter antal dygn som en elektrisk komponent klarar sig.

x = verklig livslängd, antal x in Exp(lambda)
Y = [x], heltalsdelen av x.
Omega_Y = {0,1,2,3,4,…}

Bestäm fördelning för Y .

Eftersom vi vet att lambda är normalfördelad så vet vi att f(x) = lambda e^-(lambda x), F(x) = 1-e^-(lambda x)

Bestäm sannolikheten att den inte klarar ett dygn.
P(0) = P(0<x<1) = F(1) - F(0) = 1-e^-lambda-(1-1)
P(1) = P(1<=x<2) = F(2) - F(1) = 1-e^-(2lambda)-(1-e^-(lambda)) = e^-lambda - e^-(2lambda) = e^-lambda (1-e^-lambda)
P(2) = P(2<=x<3) = F(3) - F(2) = e^-(2lambda) - e^-(3lambda) = e^-(2lambda)(1-e^-lambda)

`:. P(k) = P(k<=x Y in Geo(1-e^-lambda)`