Föreläsning 4

Drag 13 kort ur en kortlek med 52 kort.

a) Vad är sann. att få 5 spader, 3 hjärter, 3 ruter, 2 klöver.

P(5s, 3h, 3r, 2k) = ( ((13),(5)) ((13),(3)) ((13),(3)) ((13),(2)) ) / ( ((52),(13)) ) = 0.013

b) Fördelningen 5,3,3,2 på godtycklig färg.

P(5,3,2,2 godtycklig ) = 0.013 * 4!

2.21

Bytta med 94 ok, 6 defekta grejer.

n = 5 utan återläggning.

a) P(2 def urvalet )

A_k = k st defekter i urvalet.
P(A_2) = ( ((6),(2)) ((94),(3)) ) / ( ((100),(5)) ) = 0.027

b) P( Högst en defekt )

P(A_0 uu A_1) = ( ((6),(0)) ((94),(5)) + ((6),(1)) ((94),(4)) ) / ( ((100),(5)) )

Betingad sannolikhet

Svarta och vita bollar.
40 vita
60 svarta
P( Svart på andra om svart på första ) .
P(A_2 | A_1) = 5/9
P(A_2^c | A_1) = 4/9

P(S_1 cap S_2) = 6/10*5/9 = 1/3

Ex.

3 maskiner producerar skruvar.

A kör 25% av produktionen. 3% blir defekta.
B kör 35%, 2% defekta
C kör 40%, 1% defekta

Hur stor andel av produktionen blir defekta.
.25*.03 + .35*.02 + .40*.01 = 0.0185 = 1.85%
Detta är också svaret på:
Vad är chansen att på måfå ta en defekt skruv.

Vad är chansen att en defekt skruv kommer från en viss maskin?

P(A) = 0.25 => P(Def|A) = 0.03
P(B) = 0.35 => P(Def|B) = 0.02
P(C) = 0.40 => P(Def|C) = 0.01

P(A|Def) = ( P(A nn D) )/ ( P(D) ) = ( P(A) P(D|A) ) / ( P(D) ) = 0.405
P(B|D) = 0.378
P(C|D) = P^c(A|D) P^c(B|D) = 0.216
Så helt enkelt så är det minst likely att den kommer ifrån C.

P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))

Ex. 2.28 (Penninglotteriet)

Spelar det roll "när" man drar vinstlotten? Först eller sist?
3 snubbar, en vinstlott.
P(A) = 1/3
P(B) = P(A^c nn B) = P(B|A^c) P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

Ex. 2.27

Hink med 3 kort med färgade ovan/undersida.
Röd/Röd
Vit/Vit
Röd/Vit

Vad är sannolikheten att man plockar ett kort som är Rött under, betingat av att det är Rött ovanför?
Man plockar ett kort, det är rött. P(Rött under)?

(sidorna är blandade).

Om vi tar det Röd/Röd kortet så vet vi inte vilken sida vi ser.
Röd/Vit kan vi få upp R/V och V/R
Samma sak på Röd/Röd: R_1/R_2 och R_2/R_1
Och Vit/Vit: V_1/V_2 och V_2/V_1

Ok, så vi har tagit ett kort nu som är rött ovanpå.
Det kan ju inte vara Vit/Vit-kortet och inte V/R -kombinationen.
P(R_N | R_U) = 2/3 = P(V_N | V_U)
P(V_N | R_U) = 1/3 = P(R_N | V_U)