Föreläsning 24

12.23

På en lösning med okänt pH-värde mu har man gjort fyra mätningar:
{4.32,4.22,4.23,4.37}

Dvs x_i = pH-värde i lösningen
Man misstänker att overline(underline(x))_i in N(mu, sigma)

Man gör med samma mätare sex mätningar på en lösning med känt pH-värde mu_Y = 4.84 :
{4.71,4.63,4.69,4.76,4.58,4.83}

Dvs Y_j = pH-värde, känd.

Våran modell är att vi har ett systematiskt fel Delta samt ett slumpmässigt fel som är fördelat enligt N(0,sigma) .
En mätning med pH-värde mu är alltså en observation från fördelningen N(mu + Delta, sigma) .

Vi inför en ny s.v z som skillnaden mellan Y_j och mu_Y :
z_j = Y_j - mu_Y = {-0.13,-0.21,-0.15,-0.08,-0.26,-0.01} => z_j in N(Delta, sigma)

mu = overline(overline(underline(x))) - overline(z)
overline(z) = Delta^(**)
sigma_z^(**) = s_z

12.37

Kan man motivera CGS med endast 8 mätningar?
overline(underline(x))= antal anrop till en telefonväxel under den brådaste timmen på dagen. overline(underline(x)) in Po(mu)
Mätningar: {115,82,108,106,118,87,99,92}

Bestäm ett approximativt 95% konfidensintervall för mu .

mu^(**) = overline(overline(underline(x))) = 1/n sum_1^n overline(underline(x))_i

overline(underline(x))_1 in Po(mu_1), overline(underline(x))_2 in Po(mu_2)
=> overline(underline(x))_1 + overline(underline(x))_2 in Po(mu_1 + mu_2)

Y = sum_1^n overline(underline(x))i in Po(n mu) E(Y) = n mu skattas med (n mu)"OBS"^(**) = sum_1^8 overline(underline(x))_i = 807 > 15

mu_"OBS"^(**) = overline(x) = 100.88
V(overline(overline(underline(x)))) = V( 1/n sum_1^8 V(overline(underline(x))_i) ) = 1/n^2 n mu = mu/n
overline(overline(underline(x))) ~~ N(mu, sqrt(mu/n))

mu in (overline(x) +- 1.96 d(mu^(**) ), (~~ 95%)

mu in ( 100.88 +- 1.96 sqrt(100.88/8) ), (~~ 95%)

Teckenintervall

Låt X_1, … ,X_n vara ett stickprov. Ordna i storlek dessa så att X_(1) <= X_(2) <= … <= X_(n)
Låt Y= antal observationer till vänster om mu, Y in "Bin"(n,0.5)

Exempel

Data från 12.37.

overline(underline(x))= antal inkommande samtal under den brådaste timmen.
Bilda konfidensintervall för m = "medianen"

Ordnat mätresultat:

overline(underline(x))_(1) overline(underline(x))_(2) overline(underline(x))_(3) overline(underline(x))_(4) overline(underline(x))_(5) overline(underline(x))_(6) overline(underline(x))_(7) overline(underline(x))_(8)
82 87 92 99 106 108 115 118

Y= antal obs till vänster om m . Y in "Bin"(n, 1/2)

m in (82, 118) (99.2%)
m in (overline(underline(x))(2), overline(underline(x))(7)) (?)

P( overline(underline(x))(2) < m overline(underline(x))(7) ) = 1-2*P(Y <= 1) = "tabell" = 1-2*0.035 ~~ 93% konfidensgrad.

:. m in (87, 115) (93%)

Medianen skattas från m_"OBS"^(**) = (106+99)/2 = 102.5

Observera att vi inte blandar in någon fördelning i det här. Helt "parameterlöst".