Föreläsning 20

11.25

overline(underline(x))_i = antal fartyg under ett tidsintervall.
overline(underline(x))_i in "Po"(lambda t), lambda = antal fartyg/min.

Vi kan lägga ihop två Poisson-fördelningar genom att addera deras lambda .

P_(overline(underline(x))_i)(x) = ((lambda t)^x)/(x!) e^-(lambda t), x=0,1,2,…

Observationstid 30 30 40
Antal fartyg 10 12 18

Bestäm ML-skattningen av lambda !

L(lambda) = P_(overline(underline(x))1)(10) P(overline(underline(x))2)(12) P(overline(underline(x))_3)(18) = ((30 lambda)^10)/(10!)e^-(30 lambda)((30 lambda)^12)/(12!)*e^-(30 lambda)((40 lambda)^18)/(18!)*e^-(40 lambda) = e^-(100 lambda) 1/(10! 12! 18!) 30^22*40^18*lambda^40

Logaritmerar!

ln(L(lambda)) = -100 lambda + ln((30^22*40^18)/(10! 12! 18!))+40 ln(lambda)

Deriverar med avseende på lambda :
-100 + 40/lambda = 0 => lambda = 40/100 = 0.4
:. lambda^(**) = 0.4 fartyg/min.
Teoretiskt så är lambda^(**) = (overline(underline(x))_1 + overline(underline(x))_2 + overline(underline(x))_3)/(t_1 + t_2 + t_3) , dvs ett medelvärde.

Standardavvikelse?

lambda^(**) = (overline(underline(x))_1 + overline(underline(x))_2 + overline(underline(x))_3)/100

V(lambda^(**)) = 1/100^2 ( V(overline(underline(x))_1) + V(overline(underline(x))_2) + V(overline(underline(x))_3) ) = (30lambda + 30lambda 40lambda)/100^2 = lambda/100
=> D(lambda^(**)) = sqrt(lambda/100)
Medelfel: d(lambda^(**)) = sqrt(0.4/100)

y_i = antal båtar/min, i = 1,…,100
n = 100, sum y_i = 40
=> lambda^(**)_"OBS" = overline(y)
lambda^(**) = overline(Y) ~~ N(lambda, sqrt(lambda/n))

Intervallskattning

Om vi vet att overline(overline(underline(x))) in N(mu, sigma/sqrt(n))
mu^(**) = overline(overline(underline(x)))

Så vet vi också att P(mu - 1.96 sigma/sqrt(n) < overline(overline(underline(x))) < mu + 1.96 sigma/sqrt(n) ) = 0.95

Det funkar även med att stänga inne mu : P(overline(overline(underline(x))) - 1.96 sigma/sqrt(n) < mu overline(overline(underline(x))) + 1.96 sigma/sqrt(n) ) = 0.95 . Man kan även uttrycka det som mu in (overline(overline(underline(x))) +- 1.96 sigma/sqrt(n)), (95%) , eller som en intervallskattning av mu .

mu in (overline(x) +- 1.96 sigma/sqrt(n)), (95%) larr Konfidensintervall och konfidensgrad.

Hjälpfördelningar

chi^2 -fördelningen

Chi2-fördelning med n frihetsgrader: sum_(i=1)^n X_i^2 in chi^2(n), X_i in N(0,1)

chi^2 -fördelningen ser ut som en liten bula med en svans i x->oo i första kvadrant.

Exempelvis om vi har en chi^2(3) -fördelning:
P(a < overline(underline(x)) < b) = 0.95 =>
P(overline(underline(x)) > a) = 0.975 iff a = 0.22
P(overline(underline(x)) > b) = 0.025 iff b = 7.35

overline(underline(x))_i in N(0,1) => sum_1^n overline(underline(x))_i^2 in chi^2(n)
Och vi gör våran vanliga metod för att normalisera icke-normerade normalfördelningar: (x_i - mu)/sigma in N(0,1) AA x_i in N(mu, sigma)

t -fördelningen

( overline(overline(underline(x))) - mu )/(S/sqrt(n)) in t(n-1)
t-fördelningen är symmetrisk kring 0 , och är på så sätt lite besläktad standard-normalfördelningen.

t-fördelningen är händig om man inte vet standardavvikelsen. Den tenderar till normalfördelning om frihetgraderna f->oo .

overline(underline(x)) in t(5), P(-x < overline(underline(x)) < x) = 0.99 iff P(overline(underline(x)) > x) = 0.005
Läs av i tabellen sen.