Föreläsning 18

(sigma^2)^** = s^2 = 1/(mu-1) sum_(i=1)^n (x_i - overline(underline(x)))^2 Väntevärdesriktig skattning av sigma^2 .

(n-1) S^2 = sum_1^n (overline(underline(x))_i - overline(overline(underline(x))))^2 | E(S^2)=E((sigma^2)^**) = sigma^2, där S är en stokastisk variabel

sum_1^n (overline(underline(x))_i - overline(overline(underline(x))))^2 = sum_1^n((overline(underline(x))_i-mu)-(overline(overline(underline(x)))-mu))^2
= sum_1^n (overline(underline(x))_i - mu)^2 - 2(overline(overline(underline(x)))-mu)*n/n sum_1^n (overline(underline(x))_i - mu) + sum_1^n (overline(overline(underline(x))) - mu)^2

Vi gör ett trix (overline(overline(underline(x)))-mu) = (1/mu sum (overline(underline(x))_i - mu))

sum_1^n (overline(underline(x))_i - mu)^2 - 2mu (overline(overline(underline(x)))-mu)^2 + n(overline(overline(underline(x)))-mu)^2
= E(sum_1^n i(overline(underline(x))_i - mu)^2 - n(overline(overline(underline(x))) - mu)^2)
Utnyttjar definitionen av varians:
= sum_1^n obrace(E(overline(underline(x))_i - mu)^2)^(sigma^2) - obrace(uE(overline(overline(underline(x)))-mu)^2)^(sigma^2/n)
= n sigma^2 - mu sigma^2/n = n sigma^2 - sigma^2 = (n-1)sigma^2

Ex.

Vi har ett stickprov med mätresultat i x :
x_1,…,x_n; overline(underline(x))_i in •(mu_1, sigma)
y_1,…,y_n; Y_i in •(mu_2, sigma)

mu_1^• = overline(overline(underline(x))); mu_2^•=overline(Y)
(sigma^2)^* = S_1^2; (sigma^2)^* = S_2^2

Viktad skattning av sigma^2 :

(sigma^2)^* = ( (n-1)S_1^2 + (m-1)S_2^2 ) / (n+m-2)

mu_1 = mu_2 iff mu_1-mu_2 = 0; (mu_1-mu_2)^2 = overline(overline(underline(x))) - overline(Y)

För att kunna räkna på varians så behöver vi mäta mer än en enda gång.

Medelfel

Medelfel
En skattning D(theta^) kallas medelfel för theta^ och betecknas med d(theta^*) .

Om vi har mu^* = overline(overline(underline(x))), mu_("OBS")^* = overline(overline(underline(x))) så får vi att D(mu^)) = D(overline(overline(underline(x)))) = sigma/sqrt(n), d(overline(overline(underline(x)))=S/sqrt(n)

Ex medelfel

overline(underline(x))_i = tid i timmar
Stickprovet x_1,…x_5 = 5,4,6,4,7

Lika lång medellivslängd för alla: E(overline(underline(x))_i) = mu; D(overline(underline(x))_i) = sigma; overline(overline(underline(x))) in • (mu, sigma/sqrt(n))

a) Hitta mu för skattningen och sigma .

mu^* = overline(underline(x)) = 5.2
sigma^* = s ~~ 1.303

b) Hitta medelfelet

D(mu^) = D(overline(overline(underline(x)))) = sigma/sqrt(5) larr Stickprovsstorleken är 5 . d(mu^) = s/sqrt(5) = 1.303/sqrt(5) ~~ 0.58 larr Medelfelet är skattningen på standardavvikelsen på skattningen

11.7

overline(underline(x)) = antal bilägare (med återlägg)
overline(underline(x)) in "Bin"(n_1, p)
Y= antal bilägare (utan återlägg)
Y in "Hyp"(N, n_2, p)
n_1 = n_2

Vi vill ta reda på p^* = overline(underline(x))/n och hat(p)^** = Y/n , dvs punktskattning av p .

a) Beräkna väntevärde och varians för respektive p .

E(p^) = E(overline(underline(x))/n) = 1/n E(overline(underline(x))) = 1/n n*p = p larr väntevärdesriktig skattning V(p^) = V(overline(underline(x))/n) = 1/n^2 V(overline(underline(x))) = 1/n^2 (1-p)np

E(hat(p)) = E(Y/n) = 1/n E(Y) = 1/n np = p vvr
V(hat(p)) = V(Y/n) = 1/n^2 V(Y) = 1/n^2 np(1-p)((N-n)/(N-1))

b) Vilken skattning är effektivast?

V(hatp) < V(p^*) om (N-n)/(N-1) < 1, n >= 2 .

c)

x=23, y=23, N=1000, n=100
p_"OBS"^* = hatp_"OBS" = 23/100 = 0.23
Vi vill ha medelfelet för p^ , dvs d(p^) = sqrt((p^(1-p^))/n) = sqrt((0.23*0.77)/100) ~~ 0.042
d(hatp) = sqrt((0.23*0.77)/100 (1000-100)/999) ~~ 0.040

Inte så stor skillnad alltså mellan p^* och hatp .

Exempel på Maximum Likelyhood skattningen

x_1,…,x_n från f(x) = x^2/(2lambda^3) e^-(x/lambda)
L(lambda) = P(overline(underline(x))_1 = x_1)…*P(overline(underline(x))_n = x_n) = Pi_1^n (x_i^2)/(2lambda^3) e^-(x_i/lambda) = x_1^2..*x_n^2(1/2lambda^3)^n e^-(1/lambda sum x_i)

Vi logaritmerar L : ln(L(lambda)) = ln(x_1^2*…x_n^2) + ln(1/(2lambda^(3n))) - 1/lambda sum x_i = ln(x_1^2…*x_n^2) - 3n ln(2lambda) - 1/lambda sum_1^n x_i

Vi deriverar med avseende på lambda:
d(ln L(lambda))/(d lambda) = -(3n)/lambda + 1/lambda^2 sum_1^n x_i = 0 => lambda = ( sum x_i )/(3n)

lambda^* = (sum_1^n x_i)/(3n) = overline(overline(underline(x)))/3

Är lambda^* = overline(overline(underline(x)))/3 en väntevärdesriktig skattning?

E(overline(overline(underline(x)))/3) = 1/(3n) sum_1^n E(overline(underline(x))_i)
E(overline(underline(x))_i) = int_0^oo x f(x) dx = int_0^oo x*(x^2)/(2lambda^3) e^-(x/lambda) dx

Vi får en ledning av examinatorn: int_0^oo x^n e^-(x/lambda) dx = n! lambda^n .

:. int_0^oo x*(x^2)/(2lambda^3) e^-(x/lambda) dx = 1/(2lambda^3) int x^3 e^-(x/lambda) dx = 1/(2lambda^3) 3! lambda^3 larr
Ledningen visar sig vara felaktig. Bakläxa för Mats!

Mats vill ha svaret 1/(2lambda^3) 3! lambda^(3*1) = 3 lambda .