Föreläsning 16

7.14 b)

overline(underline(x))_A = antal ok från A
overline(underline(x))_B = antal ok från B

overline(underline(x))_A in "Bin"(1200, 0.95)
overline(underline(x))_B in "Bin"(1300, 0.90)

Beräkna sannolikheten att man får fler användbara A-komponenter än B-komponenter.

P(overline(underline(x))_A > overline(underline(x))_B) = P(overline(underline(x))_A - overline(underline(x))_B > 0) = P(overline(underline(x))_B - overline(underline(x))_A < 0)

Vi approximerar fördelningarna mha "Bin"(n,p) ~~ N(np, sqrt(n*p(1-p))) .
overline(underline(x))_A ~~ N(1140, sqrt(57))
overline(underline(x))_B ~~ N(1170, sqrt(117))

Vi använder nedanstående för att kombinera fördelningarna.

E(overline(underline(x))_A-overline(underline(x))_B) = E(overline(underline(x))_A)-E(overline(underline(x))_B)
V(overline(underline(x))_A-overline(underline(x))_B) = V(overline(underline(x))_A)+V(overline(underline(x))_B)

overline(underline(x))_A - overline(underline(x))_B ~~ N(1140-1170, sqrt(57+117))

1-P(overline(underline(x))_A-overline(underline(x))_B <= 0) = 1-phi((0.5-(-30))/sqrt(174))
Observera halvkorrektionen. Vi får en liten diff på några promille om vi har med 0.5 eller inte, men i andra fall kan det ha en större inverkan.

Hypergeometrisk fördelning

overline(underline(x)) in "Hyp"(lambda)
hatp = overline(underline(x))/n
E(hatp) = E(overline(underline(x))/n) = 1/n E(overline(underline(x))) = 1/n np = p
V(hatp) = V(overline(underline(x))/n) = 1/n^2 V(overline(underline(x))) = 1/n^2 np(1-p)((N-n)/(N-1)) = (p(1-p))/n*(N-n)/(N-1)

7.16

Drag utan återlägg. overline(underline(x)) in "Hyp"(100, 5, 0.06)
P(x) = ( ((6),(x)) ((94),(5-x)) )/((10),(5)), x=0,1,2,3,4,5

E(overline(underline(x)))=np = 5*0.06
V(overline(underline(x)))=np(1-p)((N-n)/(N-1)) = 5*0.06*0.94(94/99)

P(overline(underline(x)) <= 1) = ( ((6),(0)) ((94),(5)) 0 ((6),(1)) ((94),(4)) )/ ((100),(5))

7.20

N=1000
overline(underline(x))= antal defekta. p=12/1000 = 0.012

overline(underline(x)) in Hyp(1000, 50, 0.012) A
Exakt svar: P(overline(underline(x)) <= 1) = sum_(x=0)^2 ( ((12),(x)) ((900),(50-x)) )/((1000),(50)) Hundra år senare så är miniräknaren ändå inte klar. Det suger! Vi approximerar overline(underline(x)) ~~ Bin(50, 0.012) eller overline(underline(x)) ~~ Po(0.6) => P(overline(underline(x)) <= 1) = F(1) ~~ 0.977

Poissonfördelning

Betrakta händelser A som slumpmässiga och oberoende av varandra. Slumpvariabeln X betecknar antalet händelser A som inträffar under ett tidsintervall t. X blir då Poissonfördelad:

P(X = x) = e^-mu (mu^x)/x!, x=0,1,…

mu kallas intensitetsparameter. mu anger genomsnittligt antal händelser A under tiden t.