Föreläsning 15

Centrala gränsvärdessatsen

6.23

overline(underline(x))_i= livslängd, overline(underline(x))_i in Exp(lambda)
Bestäm en utbytningstid som gör att högst 10% är döda samtidigt.
E(overline(underline(x))_i) = mu = 200
sigma = 200

Y=sum_1^50 overline(underline(x))_i = livsvängd för 50st
P(Y>t)=0.9
Vi utnyttjar CGS: Y ~~ N(n*mu, sqrt(mu)*sigma)

E(Y) = E(sum_1^50 overline(underline(x))_i) = sum_i^50 E(x_i) = 50*200 = 10000
V(Y) = V(sum_1^50 overline(underline(x))_i) obrace(=)^("oberoende") sum_1^50 V(overline(underline(x))_i) = 50*200^2 => D(Y) = sqrt(50)*200
:. Y ~~ N(10000, sqrt(50)*200)
P(Y > t) = 0.9 iff P(Y<t)=0.1 iff phi((t-10000)/(sqrt(50)*200))
Använd lilla tabellen. (t-10000)/(sqrt(50)*200) = -1.2816

t = 10000-1.2816*sqrt(50)*200

Binomialfördelningen

Ett försök som består av n upprepningar av oberoende försök, dragning utan återlägg.

Väntevärde och varians
X in "Bin"(n,p) => E(X) = np; V(X) = np(1-p)

X in "Bin"(n_1, p); Y in "Bin"(n_2, p), X och Y oberoende =>

Exempel binomialfördelning

overline(underline(x))_i = {(0, 1-p),(1, p):}; overline(underline(x))_i in "Bin"(1, p)
E(overline(underline(x))_i) = 0(1-p)+1p = p
V(overline(underline(x))_i) = 0^2(1-p)+1^2p - p^2 = p(1-p)

Y=sum_1^n overline(underline(x))_i in "Bin"(n,p)
E(Y) = E(sum_1^n overline(underline(x))_i) = sum_1^n E(overline(underline(x))_i) = np
V(Y) = V(sum_1^n overline(underline(x))_i) = sum_1^n V(overline(underline(x))_i) = np(1-p)

7.7

På en fröpåse står det "grobarhet 75%". Om man sår 15 frön, vad är sannolikheten att mellan 65% och 90% av dem gror?
overline(underline(x)) = antal frön som gror.
overline(underline(x)) in "Bin"(15, 0.75); x = 0,1,…14,15
P(0.65*15 <= overline(underline(x)) <= 0.9*15) = P(9 <= overline(underline(x)) <= 14)
Men! I tabellen så finns inte p större än 0.5 . Vi behöver vända på steken helt enkelt.
Vi inför en s.v Y= antal som inte gror. Då får vi Y in "Bin"(15, 0.25); y=15,14,…,1,0

P(1<=Y<=6) = F(6) - F(0) = 0.94338-0.01336 = 0.93

Approximativa egenskaper binomialfördelning

X in "Bin"(n,p) och V(X)>10 => X ~~ N(np, sqrt(np(1-p))
X in "Bin"(n,p) och p<0.1 så är X ~~ Po(np)

7.7 med approximation

Vi sår istället 150 frön.
overline(underline(x)) = antal frön. overline(underline(x)) in "Bin"(150, 0.75)
E(overline(underline(x))) = 150*0.75 = 112.5
V(overline(underline(x))) = 150*0.75*0.25 = 28.125 , observera att variansen är större än 10 .
=> overline(underline(x)) ~~ N(112.5, sqrt(25.125))
P(97 <= overline(underline(x)) <= 135) obrace(~~)^("CGS") phi(135-112.5/sqrt(28.125) - phi((97-112.5)/sqrt(28.125)) = phi(4.24) - phi(-2.92) = 1-(1-phi(2.92)) = phi(2.92) = 0.9982
Om vi hade gjort detta med riktig binomialfördelning utan approximation hade vi fått 0.9983 .

7.15

En låda är kass om overline(underline(x))= antal defekter överstiger 3 .
p=0.005, n=100 . overline(underline(x)) in "Bin"(100, 0.005)

P( en låda ok om högst 3 defekt ) = P(overline(underline(x)) <= 0.005)
Eftersom tabellen inte räcker till n=100 så får vi använda en approximation. Poissonfördelning!

E(overline(underline(x)))=np=100*0.005 = 0.5
overline(underline(x)) ~~ Po(0.5) ~~ 0.9982 = p

Vi ökar till 10000 lådor istället.
Y= antal kassa lådor. 1-0.9982 = 0.00175 = p = sannolikhet för kass låda. n=10000
Y in "Bin"(10000, 0.00175)

Vi kan välja fritt mellan att approximera till antingen poisson eller normal.

E(Y) = 17.5 = np
V(Y) = 0.99825*17.5 > 10
Y ~~ Po(17.5)
Y ~~ N(17.5, sqrt(0.99825*17.5))
P(Y > 25) =1-P(Y <= 25) ) 1-phi((25-17.5)/(sqrt(17.5)*0.99825)) = 1-phi(1.79) = 1-0.9633 ~~ 0.04