Föreläsning 14

Standardnormalfördelning

6.1

overline(underline(x)) in N(0,1)

Leta reda på P(overline(underline(x)) <= 1.82) = phi(1.82) . Om man tittar på standardnormalfördelningen så ser man att det är en sannolikhet som är större än 50%.
= 0.9656

Standardnormalfördelningen är symmetrisk:
phi(-x)=1-phi(x)

P(overline(underline(x)) <= -0.35) = phi(-0.35) = 1-phi(0.35) = 1 - 0.6368 = 0.3632

Intervall

P(-1.2 <= overline(underline(x)) <= 0.5) = phi(0.5) - phi(-1.2) = phi(0.5) - (1-phi(1.2)) = phi(0.5)+phi(1.2)-1 = 0.6915 + 0.8849 - 1 = 0.5764

overline(underline(x)) standardnormalfördelad. Bestäm A så att P(overline(underline(x)) > a) = 0.05
Kolla i Tabell 2 (lilla tabellen). Den säger att a =1.6449 givet förutsättningarna.

P(|overline(underline(x))| < a) = 0.95 iff P(-a < overline(underline(x)) < a) = 0.95 iff phi(a) - (1-phi(a)) = 2phi(a)-1=0.95 iff phi(a)=(1+0.95)/2=0.975
Använd lilla tabellen!
iff a = 1.9600

6.4

overline(underline(x)) in N(5,2)

Bestäm P(overline(underline(x)) <= 6) . Observation: Svaret kommer vara större än 50% iom 6 > mu = 5 .

Vi normerar fördelningen till en N(0,1) .
P((6-5)/2) = phi(0.5) = 0.6915

P(1.8 < overline(underline(x)) < 7.2) = phi((7.2-5)/2) - phi((1.8-5)/2) = phi(1.1) - phi(-1.6) = phi(1.1) - phi(-1.6) = phi(1.1) + phi(1.6) - 1 = 0.8643 + 0.9452 - 1

6.9

I en paketeringsmaskin avdelas margarinpaket så att vikten blir en s.v. X (kg). Antag att man med god approximation kan anta att X är N(0.5, 0.003) . Hur står är sannolikheten att ett margarinpaket väger minst 495 gram? Ange också gränser 0.5 +- d sådana att sannolikheten blir

b) 95% .

P(mu-1.965 <= X < mu+1.965) = 0.95

c) 99%

d=1.96*0.003
P(mu-2.5758 <= X < mu+2.5758)=0.99

a) 50%

Vi tittar i Tabell 1 efter 0.75 . Vi ser att phi(0.675) ~~ 0.75

:. P(mu-0.675 sigma < X < mu+0.675)

6.12

Hissen klarar högst 10 personer eller 800 kg.

overline(underline(x)) in N(70, 10) Vikt av en person.

Y = sum_(i=1)^10 , vikt av alla personer.

E(Y) = 70*10 = 700
V(Y) = 10*10^2 = 1000 => D(Y) = sqrt(1000)

Om vi pressar in 10 personer i den här så är sannolikheten att överbelasta den P(Y>800)=1-P(Y<=800) = 1 - phi((800-700)/sqrt(1000)) = 1-phi(3.16) = 1-0.99917 < 0.001

6.15

overline(underline(x)) = tid för relä 1, overline(underline(x)) in N(1,0.1)
Y= tid för relä 2, Y in N(1.5,0.2)

Vad är sannolikheten att relä Y händer före relä 1?
P(Y < overline(underline(x))) = P(Y-overline(underline(x)) < 0) = …

E(Y-overline(underline(x)))=E(Y)-E(overline(underline(x)))=0.5; V(Y-overline(underline(x)))=V(Y)-V(overline(underline(x)))=0.1^2+0.2^2 = 0.05
=> Y-overline(underline(x)) in N(0.5, sqrt(0.05))

… = phi(0-0.5/sqrt(0.05)) = 1-phi(2.2) = 1-0.9861 = 0.0139

6.21

Nybyggt bostadsområde för 1000 familjer planeras. Sannolikheterna för att en familj har inget, ett, två respektive tre barn i förskoleåldern antas vara 0.4,0.2,0.3,0.1 . Hur många dagisplatser ska planeras om sannolikheten för att alla barn ska få plats skall vara 90% ?

overline(underline(x))_i = antal barn i en familj.

x 0 1 2 3
p(x) 0.4 0.2 0.3 0.1

Y=sum_1^1000 overline(underline(x))_i : Antal barn för 1000 familjer.

P(Y<=a) = 0.9; Y obrace(~~)("CGS") N(mu;sigma) E(Y) = sum_1^1000 E(overline(underline(x))_i) = mu V(Y) = sum_1^1000 V(overline(underline(x))_i) = sigma^2 E(overline(underline(x))_i) = sum_0^3 x p(x) = 1*0.2+2*0.3+3*0.1 = 1.1 V(overline(underline(x))_i) = sum_0^3 x^2 p(x) -mu^2 = 1*0.2+2^2*0.3+3^2*0.1-1.1^2 = 1.09 => sigma^2 = 1.09*1000 = 1090

Vi vill bestämma a så att P(Y<=a)=0.9 iff phi((a-1100)/(sqrt(1090))) = 0.9 iff (a-1100)/(sqrt(1090)) = 1.2816 => a = 1142 .

Alltså att vi behöver runt 1142 platser extra.

Värt att tänka på är att detta är diskret, med hela barn. Man kan lägga till en halva och plussa på.