Föreläsning 12

Definitionen av (kontinuerligt) väntevärde.

E(overline(underline(x))) = mu = int_-Omega^Omega x*f(x) dx

Ex. overline(underline(x)) in Exp(lambda)

Vad har vi för väntevärde mu=E(overline(underline(x))) ?

f(x) = lambda e^(-lambda x), x>0

=> mu = int_0^oo x*f(x) dx = int_0^oo x*lambda e^(-lambda x) dx

Partiell integration här.

int_a^b f*g = [F g]_a^b - int_a^b F*g'

= obrace([x(-e^(-lambda x))]_0^oo)^("= 0") + int e^-(lambda x) dx = [-1/lambda e^(-lambda x)]_0^oo = 1/lambda

P(overline(underline(x)) <= 1/lambda) = F(1/lambda) = 1-e^-1 ~~ 0.63

5.7

f(x) = 2e^(-2x), x>0; overline(underline(x)) in Exp(2) => E(overline(underline(x))) = 1/2

Y = g(overline(underline(x))) = e^(overline(underline(x))) larr :. Y" funktion av " overline(underline(x))

Givet frekvensfunktionen samt de transformade utvärdena, vad är väntevärdet i Y? Alltså E(Y) ?

E(Y) = int_0^oo e^x*2e^(-2x) dx = … = 2

Ex.

overline(underline(x)) stokastisk variabel med väntevärde E(overline(underline(x)))=mu , dvs mu är känd.

Y = (overline(underline(x))-mu)^2

E(Y) = E [ (overline(underline(x))-mu)^2 ] = {( "Diskret", sum_(x in Omega) (x-mu)^2 p(x) ), ("Kontinuerlig", int_-oo^oo (x-mu)^2 f(x) dx) :}

Väntevärdefunktionen är linjär.
E[(overline(underline(x))-mu)^2] = E(overline(underline(x))^2-2mu overline(underline(x))+mu^2) = E(overline(underline(x))^2) - 2mu E(overline(underline(x))) + mu^2 obrace(=)^(E(overline(underline(x)))=mu) E(overline(underline(x))^2) - 2mu^2 + mu^2 = E(overline(underline(x))^2) - mu^2

Vi kallar resultatet för varians V(overline(underline(x))) . I det här fallet V(overline(underline(x))) = E(overline(underline(x))^2) - mu^2

Ex. overline(underline(x)) in Exp(lambda)

f(x) = lambda e^(-lambda x), x>0

Vi vet sen tidigare E(overline(underline(x))) = 1/lambda .

sigma^2 = V(overline(underline(x))) = E(overline(underline(x))^2)-mu^2 = int_0^oo x^2 lambda e^(-lambda x) dx - mu^2 = … = 2/lambda^2-1/lambda^2 = 1/lambda^2

=> mu = sigma = 1/lambda

"Standardavvikelse" = sqrt("Varians")

Tjebysjovs olikhet:
P(|overline(underline(x))-mu| > k sigma) = 1/k^2, k>0