Föreläsning 11

4.6

Person åker med buss 1 och sen buss 2.
Väntetiden för b1 är upp till 10 minuter.
Väntetiden för b1 är upp till 8 minuter.

Bestäm sannolikheten att personen får vänta 16 minuter.

overline(underline(x)) = väntetid 1:a bussen

Y = väntetid 2:a bussen

:. overline(underline(x)) in U(0,10); f_(overline(underline(x)))(x) = 1/10, 0<x<10

Y in U(0,8); f_Y(y) = 1/8, 0<y<8

overline(underline(x)) och Y oberoende.
=> f_(overline(underline(x)),Y)(x,y) = f_(overline(underline(x)))(x)f_Y(y)=1/80

Utfallsrummet kan alltså liknas vid ett rätblock med dimensioner (10,8,1/80) .

P(overline(underline(x)) + Y > 16) = P(Y > 16-overline(underline(x)))
Nu ska vi integrera den här.
int_(x_min=8)^(x_max=10) int_(y_min=16-x)^(y_max=8) 1/80 dy dx = int_8^10 [y/80]_(16-x)^8 dx = int_8^10 1/80 (8-(16-x)) dx

= int_8^10 1/80 (x-8) dx = 1/80 (50 - 80 - (32 - 64)) = 1/40

Men! Om allt är likformigt fördelat så kan vi räkna på utfallsrummets volym istället.
V = P(overline(underline(x)) + Y > 16) = 2*2/2*1/80

Kuggfråga. Vad är chansen att snubben får vänta exakt 16 minuter? Svar: P(overline(underline(x)) = 16) = 0 . Detta för att i ett kontinuerligt system så finns det oändligt många punkter, och därför så måste man använda ranges.

412

Två snubbar metar.
overline(underline(x)) = Tid till napp för A. f_(overline(underline(x))) (x) = ae^(-ax), x>0
Y = tid till napp för B. f_Y(y) = be^(-by), y>0

overline(underline(x)) och Y är oberoende.

P("A vinner") = P(Y > overline(underline(x))) = int_0^oo int_x^oo f_(overline(underline(x)), Y)(x,y) dy dx

= int_0^oo int_x^oo ae^(-ax) be^(-by) dy dx = int_0^oo ae^(-ax) [-e^(-by)]_(y=x)^(y=oo) dx = int_0^oo ae^(-ax) e^(-bx) dx = int_0^oo ae^((-a+b)x) dx = [-a/(a+b)e^((-a+b)x)]_0^oo = a/(a+b)

Alltså. Om a = 2b => P("A vinner") = (2b)/(2b+b) = (2b)/(3b) = 2/3

Ex. Slå en tärning en gång.

overline(underline(x)) = antal poäng/slag.

Bestäm väntevärdet mu = E(overline(underline(x))) = sum_1^6 x p(x) = 1/6(1+2+3+4+5+6)=7/2 = 3.5

Ex. Tärning

overline(underline(x)) = Antal 6:or på 10 slag.

Vad blir det för fördelning? overline(underline(x)) in ?

Det blir binomialfördelning. overline(underline(x)) in Bin(10,1/6) Varför blir det det?

Jo, om vi har en bytta med 16.7% sexor och resten icke-sexor. Vad ger ett stickprov med återlägg? 16.7% sexor.

:. E(overline(underline(x))) = np = 10*1/6 = 5/3