Föreläsning 10

Stokastiska variabler i två dimensioner.
När vi integrerar över ett N-dimensionellt rum så är alltid totala integralen över utfallsrummet 1.

4.2

overline(underline(x)) och Y oberoende.

j/k 2 4 6 8 P_overline(underline(x))(j)
1 0.1
3 0.2
5 0.4
7 0.2
9 0.1
P_Y(k) 0.1 0.2 0.3 0.3 1

a) Beräkna P(overline(underline(x))=3, Y=6).

Iom att de är oberoende så kan vi bara multiplicera ihop sannolikheterna. P(overline(underline(x))=3)P(Y=6)

b) Beräkna P(overline(underline(x)) <= 3)P(Y <= 6) .

=(0.2+0.1) * (0.3+0.2+0.1) =0.3*0.6=0.18

4.3

f_(overline(underline(x)), Y) (x,y) = c/x e^-(x^2y), x >= 1, y >= 0

Bestäm C.

P(Omega) = 1 = int_1^oo int_0^oo c/x e^-(x^2y) dydx = int_1^oo c/x [ -e^(-x^2y)/x^2 ]_(y=0)^(y=oo) dx = int_1^oo c/x 1/x^2 dx = [ -c/(2x^2) ]_1^oo = c/2 = 1 iff c = 2

4.4

f_(overline(underline(x)), Y) (x,y) = 1/(pi^2) 1/(1+x^2) 1/(1+y^2), x,y in bbb"R"

a) Bestäm fördelningsfunktionen

F_(overline(underline(x)), Y) (x,y) = int_-oo^x int_-oo^y 1/(pi^2) 1/(1+t^2) 1/(1+s^2) ds dt = int_-oo^x 1/(pi^2) 1/(1+t^2) [ arctan(s) ]_(s=-oo)^(s=y) dt

= int_(-oo)^x 1/(pi^2) 1/(1+t^2) (arctan(y)+pi/2) dt obrace(=)^("p.s.s") = 1/(pi^2) (arctan(x)+pi/2)(arctan(y)+pi/2)

b) Bestäm f_(overline(underline(x))) (x) och f_Y(y)

f_(overline(underline(x)))(x) = D(F_(overline(underline(x)),Y)(x,oo)) = D(F_(overline(underline(x)))(x) = D(1/(pi^2) (arctan(x)+pi/2) (pi/2+pi/2)) = 1/pi 1/(1+x^2)

A_Y(y) = 1/pi 1/(1+y^2) = int_-oo^oo f_(overline(underline(x)),Y)(x,y) dx

c) Är overline(underline(x)) och Y oberoende s.v?

Ja.

f_(overline(underline(x)),Y) (x,y) = f_(overline(underline(x)))(x) f_Y(y)

Största och minsta värde. Fördelningsfunktioner av stokastiska variabler.

z_+ = max(overline(underline(x))_1, overline(underline(x))_2), overline(underline(x))_1 och overline(underline(x))_2 oberoende.

F_(z_+))(z) = P(max(overline(underline(x))1,overline(underline(x))_2) <= z) = P(overline(underline(x))_1 <= z nn overline(underline(x))_2 <= z) = P(overline(underline(x))_1 <= z)P(overline(underline(x))_2 <= z) = F(overline(underline(x))1)(z) F(overline(underline(x))_2)(z)

z_- = min(overline(underline(x))_1, overline(underline(x))_2) = (overline(underline(x))_1 > z, overline(underline(x))_2 > z)

F_(z_-)(z) = P(z_- <= z) = 1-P(z_- > z) = 1-P(overline(underline(x))1 > z, overline(underline(x))_2 > z) = 1-P(overline(underline(x))_1 > z)P(overline(underline(x))_2 > z) = 1-F(overline(underline(x))1)(z) F(x_2)(z)

4.16

overline(underline(x))_1 in Exp(lambda_i); i=1,..,n

f_(overline(underline(x))i)(x) = lambda_i e^-(lambda_i x); F(overline(underline(x))_i)(x) = 1-e^-(lambda_i x)

Bestäm f_(z_-)(z) . ( z>=0 )

F_(z_-)(z) = P(z_- <= z) = 1-P(z_- > 0) = 1-P(overline(underline(x))1 > z, …, overline(underline(x))_n > z) obrace(=)^("oberoende") = 1-(1-F(overline(underline(x))1)(z))…(1-F(overline(underline(x))_2)(z))

=1-(e^-(lambda_1 z)*…*e^(-lambda_n z)) = 1-e^(-lambda z), lambda = sum_1^n lambda_i

iff f_(z_-)(z) = lambda e^-(lambda z), z>0