Föreläsning, 21 september, Sverrebojjen

Ex. Givet H(s)= 1/(s+2)^2 bestäm impulssvar och stegsvar för systemet. Impulssvar: h(t) = L^-1{H(s)} = (L15) = L^-1{(1!)/((s+2)^1+1)} = t*e^-2t Stegsvar: Y(s) = H(s)X(s) = 1/(s+2)^2 * 1/s = A/(s+2)^2 + B/(s+2) + C/s = -1/4 1/(s+2) - 1/2 1/(s+2)^2 1/4 1/s => y(t) = -1/4 L^-1{1/(s+2)} - 1/2 L^-1{1/(s+2)^2} + 1/4 L^-1{1/s} = -1/4 e^(-2t) - 1/2 t e^(-2t) + 1/4 sigma(t)
Ex. System på stabilitetsgränsen. H(s) = 1/(s^2+1) = 1/((s+j)(s-j)) larr poler: p_1 = j, p_2 = -1 Stegsvar: y(t) = L^-1{1/(s^2+1)*1/s} = L^-1{((s^2+1)-s^2)/(s^2+1*s)} = L^-1{1/s - s/(s^2+1)} = L^-1{1/s} - L^-1{s/(s^2+1)} = sigma(t) - cos(t) larr L14, L10 Jämför: x(t) = cos(t) => X(s) = s/(s^2+1) larr (L13) Insatt: y(t) = L^-1{H(s)X(s)} = L^-1{1/(s^2+1)*s/(s^2+1)} = L^-1{s/(s^2+1)^2} = (faltning/mathematica) = 1/2 t sin(t) -> inf
ex. Avgör om systemet H(s) = (s+6)/(s^2+2s+3) är stabilt. Tips från Sverre: Om uppgiften endast frågar efter om systemet är stabilt, beräkna inte impulssvaret. Det är slöseri med tid! s^2 + 2s + 3 = 0 iff (s+1)^2/(s^2+2s+1-1+3) = 0 iff (s+1)^2 = -2 iff s+1 = +- sqrt(2) j iff s = -1 +- sqrt(2) j Systemet är stabilt eftersom Re(p_1) < 0, Re(p_2) < 0. (p_1 = -1+sqrt(2)j, p_2 = -1-sqrt(2)j) Stegsvar: y(t) = 2-e^-t (2cos(sqrt(2)t) + 1/2sin(sqrt(2)t)); h(t) = e^-t (cos(sqrt(2)t) + 5/sqrt(2) sin(sqrt(2)t)) Man kan ställa upp lite samband ur stegsvaret. Transienter är en sådan grej, är relevant inom ellära. I uttrycket ovan är e^-t (2cos(sqrt(2)t + ...)) den transienta delen, och 2 är stationär del. I ett stabilt system så kommer transienten per definition att dö ut över tid.
ex. Antag: 1) x(t) = sigma(t) e^(jomega_0t) 2) H(s) bar o f för stabilt system. Vad är utsignalen y(t) ? Y(s) = H(s)X(s) X(s) = L{sigma(t) e^(jomega_0t)} = (L12) = 1/(s-jomega_0), omega_0 konstant. Y(s) = (T(s))/((s-p_1)...(s-p_n)) * 1/(s-jomega_0) = (PBU) = alpha/(s - jomega_0) + sum_(k=1)^N beta_k/(s-p_k) => y(t) alpha e^(jomega_0t) + sum_(k=1)^N beta_k e^(p_kt) -> alpha e^(jomega_0t) Y(s) = H(s)*1/(s-jomega_0) = alpha/(s-jomega_0) + sum_(k=1)^N beta_k/(s-p_k) => (handpåläggning) H(s) = alpha + sum(...)(s-jomega_0) => H(jomega_0) = alpha Om vi sätter in ovanstående resultat i originalfunktionen: y(t) = H(jomega_0) e^(jomega_0t) H(jomega) kallas för en frekvensfunktion (frekvenssvar/respons är något vassare uttryck tycker Sverre) Vad händer om x(t) = cos(omega_0t) = 1/2 e^(jomega_0t) + 1/2 e^(-jomega_0t) ? Eftersom det är linjärt så gäller följande: y(t) = 1/2 H(jomega_0) e^(jomega_0t) + 1/2 H(-jomega_0) e^(-jomega_0t) Om systemet är tidsinvariant och linjärt, så kommer en insignal och utsignal att ha precis samma frekvens. Kanske inte samma amplitud eller fas, men frekvensen kommer att vara densamma. x(t) = e^(jomega_0t) -> y(t) = H(jomega_0) e^(jomega_0t) x(t) = sum_k e^(jkomega_0t) -> y(t) = C_k H(jkomega_0) e^(jkomega_0t) Detta kan i dess mest extrema fall göra att en insignal som är square kan bli mjuk och vice verca, men frekvensen är densamma.