Föreläsning, 18 september, Sverry

Ex. Lös y^″(t) + 4y(t) = sigma(t-1); y(0) = 0, y'(0) = 1 L{y^″(t)} + 4L{y(t)} = L{sigma(t-1)} = L{1*sigma(t-1)} iff s^2*Y(s) - s*y(0) - y'(0) + 4*Y(s) = e^(-st)/s iff (s^2+4)Y(s) = e^-s/s + 1 iff Y(s) = e^-s/(s(s^2+4)) + 1/(s^2+4) y(t) = L^-1{1/4 1/5 - 1/4 s/(s^2+2^2)} + 1/2 L^-1{2/(s^2+2^2)} iff y(t) = 1/4(1-cos(2(t-1))) sigma(t-1) + 1/2 sin(2t) 0 <= t < 1: y(t) = 1/2 sin(2t) t >= 1: y(1) = 1/2 sin 2, y'(t) = cos 2
L { int_0^t f(tau) d tau} = ? Sätt g(t) = int_0^t f(tau) d tau => {g'(t) = f(t), g(0) = 0} iff L{g'(t)} = S*G(s)-g(0) = L{f(t)} iff S*G(s) = F(s) iff G(s) = 1/s F(s) iff L{ int_0^t f(tau) d tau} = F(s)/s } Bestäm i(t) under uppladdningstiden (t >= 0) . Antag laddning vid t = 0: q(0) = 0. v_r + v_c = U_0 iff Ri(t) + q(t)/C = U_0 (q(t)=int_0^t i(tau) d tau iff) iff Ri(t) + 1/c int_0^t i(tau) d tau = U_0 iff R L{i(t)} + 1/c L{int_0^t i(tau) d tau} = L{U_0} iff RI(s) + 1/c 1/s I(s) = U_0/s iff (R + i/(c*s))I(s) = U_0/s iff U_0/(s(R+1/(c*s))) = U_0/(R*s+1/c) = U_0/R(s+1/(Rc)) = U_0/R = 1/(s+1/Rc) iff i(t) = U_0/R L^-1{1/(s+1/(Rc))} = U_0/R e^-(t/Rc) Ger även q(t): q(t) = int_0^t i(tau) d tau = int_0^t U_0/R e^-(tau/Rc) d tau = U_0/(-RC) [e^-(tau/Rc)]_0^t = c*U_0(e^(-0) - e^-(t/Rc)) = c*U_0(1 - e^-(t/Rc)) q(t -> oo) = Q = c*U_0 Detta makes mycket sense enligt Sverre om man kollar på graferna för dessa.
Nu ska jag införa några reglertekniska begrepp. x(t) rarr system rarr y(t) Antag modell: a_2 y^″(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = b_1 x'(t) + b_2 x(t) Antag också följande "steady state"-system, att utsignalen påverkas endast av insignalen. :. y'(0) = 0, y(0) = 0, x(0) = 0 Laplace: a_2 s^2 Y(s) + a_1 s Y(s) + a_0 Y(s) = b_1 s X(s) + b_2 X(s) iff (a_2 s^2 + a_1 s + a_0) Y(s) = (b_1 s + b_0)X(s) iff Y(s) = (b_1 s + b_0)/(a_2 s^2 + a_1 s + a_0)*X(s) Bråket ovan kallas för Systemets överföringsfunktion, engelska "transfer function" och betecknas H(s) . :. (per definition) Y(s) = H(s) X(s) iff H(s) = (Y(s))/(X(s)) = (L{y(t)})/(L{x(t)}) Hur bestämmer vi då H(s)? L{delta(t)} = int_0^oo delta(t) e^-(st) dt = e^-s*0 = 1 (Om x(t) = sigma(t) så är X(s) = 1 ) X(s) = 1 iff Y(s) = H(s) => L^-1{H(s)} = h(t) larr Impulssvaret. Detta är lite "kitchen sink" iom att vi går igenom alla möjliga egenskaper hos H(s) och sådant. Givet H(s), h(t). Finns det något samband för godtyckliga X(t) och y(t) Vi vet: delta(t) -> h(t) iff delta(t - Delta T) -> h(t- Delta T), Delta T >= 0 Alltså att det är linjärt i tidsinvarians. sum_(k=0)^oo delta(t - k Delta t)*X(k Delta T) Delta T -> sum_(k=0)^oo h(t - k Delta T)*X(k Delta T) Delta T Om jag låter Delta T -> 0: int_0^oo delta(t - tau)*X(tau) d tau -> int_0^oo h(t - tau)*X(tau) d tau Med x(t) som insignal: x(t) -> y(t) = int_0^oo h(t-tau)*x(tau) d tau Detta ger lite nya samband. h(t-tau) != 0 iff tau <= t => t - tau >= 0 => h(t) = h(t)*sigma(t), h och x kausala. Insättning av detta i uttrycket ovan: y(t) = int_0^t h(t-tau) x(tau) d tau larr Detta kallas för Faltning av h och x . Skrivsättet är h(t)**x(t) = int_0^t h(t-tau)*x(tau) d tau