Föreläsning, 14 September, Sverris

Tisdkontinuerliga system

Insignal x(t) -> [system] -> y(t) , där x(t) är insignal och y(t) är utsignal. Vi betraktar system som är:

Linjära

Dvs om x_1 -> y_1 och x_2 -> y_2 , har vi att ax_1+bx_2 -> ay_1+by_2 (linjärkombination av x_1 och x_2 )

Tidsinvarianta

Dvs x(t) -> y(t) iff x(t-t_0) -> y(t-t_0) , alltså om jag fördröjer insignalen så dröjer utsignalen också. Fysikaliskt exempel: ma = sum F = -ky - kv + F(t) (v: klossens hastighet) iff my^″ + by' + ky = F(t) larr 2 ordningens linjär och inhomogen differentialekvation

Laplacetransform

Given funktion f(t) , definierad och styckvis kontinuerlig i intervallet [0,oo] Definierar Lapracetransformen av f(t) : L{f(t)} = int_0^oo f(t) e^-(st) dt = F(s) f(t) och F(s) är transformpar. L^-1 (inversen till Laplacetransformen) finns, men är lite knixigare att entydigt bestämma. Sverre återkommer till denna. s in CC , alltså s = sigma + jomega , dvs s är ett komplext tal. Ex! L{e^(-4t)} = int_0^oo e^(-4t) e^(-st) dt = int_0^oo e^(-s(s+4)t) dt = -1/(s+4)[e^(-(s+4)t)]_0^oo = 1/(s+4)(1- lim_(t->oo) e^(-(s+4)t)) s = sigma + jomega : e^(-(s+4)t) = e^(-(sigma+jomega+4)t) = e^(-jomegat) e^((-sigma+4)t) Om sigma + 4 > 0 dvs Re(s) + 4 > 0 iff Re(s) > -4 Om Re(s) > -4 så existerar Laplacetransformen. L{e^(-at)} = 1/(s+a)
Ex. L{cos at}, a in RR L{cos at} = L{1/2 e^(jat) + 1/2 e^(-jat)} = 1/2 L{e^(jat)} + 1/2 L{e^(-jat)} Enligt L12: 1/2 1/(s-ja) + 1/2 1/(s+ja) = 1/2*(s+ja+s-ja)/((s+ja)(s-ja)) = 1/2*(2s)/(s^2-(ja)^2) = s/(s^2+a^2) (enligt L14)
Allmänna egenskaper laplacetransformer:

1.

L{f(t)} = F(s), L{g(t)} = G(s) ger L{a*f(t)+b*g(t)} = a*F(s) + b*G(s) Varför är det så här? (linjärt beteende) Svar: L{f(t)} är en integral (i grund och botten), alltså är L en linjär operator.

2.

L{f(t)} = F(s). L{f(t-T) sigma(t-T)} = ?, T >= 0 L{f(t-T)*sigma(t-T)} = int_0^oo f(t-T) sigma(t-T)*e^(-st)dt = int_T^oo f(t-T)*e^(-st) dt = [t-T = tau iff t = tau + T] = int_0^oo f(tau)*e^(-s(tau+T)) d tau = e^(-sT) int_0^oo f(t) e^(-s tau) = e^(-s tau) F(s)
Ex! (transform med tabell) L{cos 2t} = (L14) = s/(s^2+2^2) = s/(s^2+4) L{e^(-3t)cos(2t)} = (L17) = (s+3)/((s+3)^2+2^2) = (s+3)/(s^2+6s+13)
Ex. Givet F(s) till (okänd) f(t) : F(s) = (s-2)/(s^2+9) . L{f(t)} = F(s) iff L^-1{F(s)} = f(t) :. L^-1{(s-2)/(s^2+9)} = L^-1{(s)/(s^2+3^2)} - 2 L{1/(s^2+3^2)} Linjäriteten tillåter oss att förlänga den andra termen med 3: L^-1{(s)/(s^2+3^2)} - 2/3 L{3/(s^2+3^2)} = cos(3t) - 2/3 sin(3t) , enligt L13: L{sin at} = a/(s^2+a^2)
Ex. Givet F(s) = s/(s^2+3s+2) , vad är f(t) ? F(s) = s/(s+2)(s+1) ? Här ska man egentligen göra partialbråksuppdelning, men just i detta fallet så räcker det att "höfta till det": = (2(s+1)-(s+2))/((s+2)(s+1)) = 2/(s+2) - 1/(s+1) L^-1{s/(s^2+3s+2)} = L^-1{2/(s+2) - 1/(s+1)} = 2L^-1{1/(s+2)} - L^-1{1/(s+1)} = 2e^(-2t)-e^-t Hindgren hade "stridsvagnsmetoden" för PBU, men Sverre gillar "handpåläggning" mer.
Ex. L^-1{(7s+4)/(s^2-s-6)} = L^-1{(7s+4)/((s+2)(s-3))} Antag! A/(s+2) + B/(s-3) = (7s+4)/((s+2)(s-3)) iff (A/(s+2) + B/(s-3))(s+2) = (7s+4)/((s+2)(s-3))(s+2) iff A = (7s+4)/(s-3) = [s = -2] = (7*-2+4)/(-2-3) = -10/-5 = 2 (A/(s+2) + B/(s-3))(s+2)(s-3) = (7s+4)/((s+2)(s-3))(s+2) iff B = ... = 5 :. 2 L^-1{1/(s+2)} + 5 L^-1{1/(s-3)} = 2e^(-2t)+5e^(3t) Om detta skulle varit ström eller liknande, så skulle den gått mot oändligheten. 5e^(3t) är en indikation på att nått i systemet gått galet (inte våra uträkningar, utan mätdatan.
Antag: L{f(t)} = F(s) , vi är intresserade av L{f'(t)} . L{f'(t)} = int_0^oo f'(t) e^(-st) dt = [f(t) e^(-st)]_0^oo - int_0^oo f(t) d/dt (e^-st) dt = 0 - f(0) e^(-s*0) + s int_0^oo f(t) e^(-st) dt = s F(s) - f(0) Jag vill lösa en första ordningens laplacetransform: {x: insignal , y: utsignal } y'(t) + a_0y(t) = x(t), y(0) = y_0, y_0 känd => L{y'(t) + a_0y(t)} = L{x(t)} iff s Y(s) - y_0 + a_0 Y(s) = X(s) iff (s+a_0)Y(s) = X(s) + y_0 iff Y(s) = (X(s)+y_0)/(s+a_0) iff y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(X(s)+y_0)/(s+a_0)}