(på tavlan har Sverre målat en graf som jag inte kan bifoga här... jag försöker att beskriva den nedan så bra som möjligt)
går från till , höjd
. Notera: , oberoende av !
Låt . Då får vi att , per definition.
kallas för Diracs deltafunktion/impulsfunktionen.
har följande egenskaper:
: den integralen behöver man inte beräkna, om impulsen inte är så stor.
Ex!
är en impuls runt och . För att räkna ut (totala energin) får man då , denna kan dock approximeras mha Diracs deltafunktion:
, där är ett värde mellan och .
, även
Vi kan inte plotta den rena deltafunktionen egentligen, men man kan ta godtyckliga exempel. Låt .
har spikar längst y-axeln vid och , och noll annars (se definition ovan).
Frekvensområdet för deltafunktionen är oändligt, alltså kan den avge alla frekvenser.
= ,
Dessa är extremt väldefinierade tidsimpulser; de är väldefinierade genom hela spekrat. Om jag (Sverre) då vänder på steken istället, kan jag hitta en extremt väldefinierad transform?
Antag (tvärtom) extremt väldefinierad : , konstant.
innerhåller endast frekvensen .
Hur ser då motsvarande ut?
Vi använder oss av
Är detta en puls, eller finns den i alla tider? Svar: Det är en extremt långvarig (oändligt långvarig) tidsimpuls. Vi då tar oss från dessa teoretiska ypperligheter och tar en mer tänkbar signal...
Ex!
Vi tittar på i formelbladet.
Om vi har :
Om vi ska ta något lite mindre extremt än detta:
Om jag väljer ett "litet" , hur kommer det påverka ?
Svar: Ju mindre är, desto större blir "svansen" av funktionen (det är en kulle centrerad kring )
Om man väljer ett större , så kommer -kullen bli brantare, och bli lägre och mindre brant.
Parsevals formel och spektral avskärning
Antag: har värde mellan
Låt är bandbegränsad och har bandbredd , där
, ,
är en låda med puls inom denna. Vi kan låtsas att den har en bandbredd och begränsa bandet.
Det visar sig att följande gäller: .
Kommentar: Kvadraten vid behövs för att undvika negativa signaler; absolutbeloppet behövs för att undvika komplexa transformer.
Vi kan undersöka om hur mycket som går förlorat om man kapar en signal för att kunna undersöka den som en bandbredd.
Ex.
Samband mellan varighet (i tid) och approximativ bandbredd för en funktion.
om Varighet:
är jämn.
Här har vi alltså sambandet mellan frekvensområdet och tidsintervallet.
Vad är relativ energi från frekvenser i intervallet ? Alltså: Vad är detta? , där är total energi:
Mathematica säger att ovanstående är (det finns inget sätt att beräkna integralen exakt, utan Mathematica gör det approximativt)
Obs! betyder att energin är tidsdimensionerad, ta detta till hänsyn när du integrerar.
Ger: Energin som ligger i intervallet
, alltså bevarades ca 90% av energin vid bandbreddsomvandlingen.