Föreläsning, 6 september 2017, Sverris

Lite historia om fourier: Fourierserierna var förr i tiden periodiska effekt/energi-signaler, istället för distinkta termer. Skillnaden mellan effektsignal och energisignal är att effektsignalen är periodisk (upprepande) medans en energisignals energi kan beräknas med en integral.

Fouriertransform (energisignaler)

f(t) med ändlig period T :

1.

f(t) = sum_k C_k e^(jkomega_0t)

2.

där C_k = 1/T int_(T/2)^(T/2) f(t) e^(-jkomega_0t) dt

3.

T = (2pi)/omega_0 => 1/T = omega_0/(2pi) Deltaomega Sätt in

2

och

3

i

1

: => f(t) = sum_k 1/(2pi) Deltaomega (int_(T/2)^(T/2)f(tau)*e^(jkDeltaomegatau) d tau) e^(jkomega_0t) = 1/(2pi) sum_(k=-oo)^oo (int_(T/2)^(T/2) f(tau) e^(-jkDeltaomegatau) d tau) e^(jkDeltaomegat) Deltaomega T -> oo iff kDeltaomega -> omega Obs! omega konstant. f(t) -> 1/(2pi) int_(-oo)^oo (int_(-oo)^oo f(tau) e^(-jomegatau) d tau) e^(jomegat) domega Definition: F(omega) = (int_(-oo)^oo f(tau) e^(-jomegatau) d tau) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo F(omega) e^(jomegat) domega , Jämför med

1.

C_k iff 1/(2pi) F(omega) domega F(omega) kallas för Fouriertransformen av f(t) F(omega) är bra för att analysera frekvensinnehåll i ett system. Sverris har själv använt detta för att analysera bilars energiförbrukning. Då använde han Fouriertransformer i flera dimensioner. Statistik/Fysik/Bildanalys/Signalanalys använder alla fouriertransformer i ett visst antal dimensioner. Det finns inget standariserat sätt att skriva fouriertransformer i de olika områdena. Detta är jobbigt menar Sverreboii. Dessa betäckningar använder Sverris: f(t) sup F(omega) iff F(omega) sub f(t) F { f(t) } = F(omega) iff F^(-1) { F(omega) } = f(t) Man ska egentligen skriva F på ett kaliografiskt sätt (såhär fr F ), så att man fattar att han använder F för Fourieroperatorn. På så sätt är fr F fourieroperatorn, medans fr F^(-1) är invers till fourieroperatorn.
Ex! f(t) = {e^(-t), t >= 0; 0, t < 0 } F(omega) = int_(-oo)^oo f(t) e^(-jomegat) dt = int_0^oo e^-t e^-(jomegat) dt = int_0^oo e^(-(1+jomega)t) dt = (-1/(1+jomega))[e^-t e^(-jomegat)]_0^oo = -(1/(1+jomega))(0-1) = 1/(1+jomega) Det är OK att en fourierserie har en komplex fouriertransform. :. F(omega) = 1/(1+jomega) => f(t) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo 1/(1+jomega) e^(jomegat) d omega Sverre imponeras och förundras (på föreläsningen) av att f(t) kan ha en komplex transformer. "Seeing is believing" - Sverre prövade att köra en *brute force* en gång på ovanstående integral med stora tal för att kunna plotta den. När han sen plottade den så blev det en hackig kurva runt t=0 , men för övrigt väldigt fin runt t=1 och t=2 .
Villkor för Fouriertransformbar funktion/signal f(t) :

1.

int_(-oo)^oo |f(t)| dt < oo

2.

f(t) är styckvis deriverbar
Repetition komplexa tal: z = a + bi (a,b in RR) z = |z| e^(j*arg(z)) , arg(z) är vinkeln |z| är sqrt(a^2+b^2)
Representation för F(omega) : F(omega) = |F(omega)| e^(j*arg(F(omega))) = |F(omega)| e^(j phi) F(omega) : Amplitudspektrum för F(omega) phi(omega) : Fas-spektrum för f(t)
Ex! Bestäm |F(omega)| och arg(F(omega)) för F(omega) = 1/(1+jomega) |F(omega)| = |1/(1+jomega)| = |1|/|(1+jomega)| = 1/((1^2+omega^2)^(1/2)) = 1/sqrt(omega^2 + 1) ~= 1/|omega| för stora tal. Grafen för |F(omega)| ser ut som en uppåtbuktning runt 0. F(omega) är amplitudspektrum för f(t) .
Repetition: Argument till komplexa tal arg(z_1/z_2) = arg(z_1) - arg(z_2)
arg(F(omega)) = arg(1/(1+jomega)) = arg(1) - arg(1+jomega) = 0 - arctan(omega) phi(omega) = arg(F(omega)) , phi(omega) fasspektrum för f(t) För den som är intresserad av mer sånt här: Läs kompendiet!

Fouriertransform (energisignaler)

Allmänna egenskaper:

1.

Linjäritet. Om fr"F"{f(t)} = F(omega) och fr"F"{g(t)} = G(omega) fr"F"{a f(t) + b g(t)} = a fr"F"{f(t)} + b fr"F"{g(t)} = a F(omega) + b G(omega) FEL! (gör inte såhär): fr F {f(t) g(t)} = F(omega) G(omega)

2.

Tidsfördröjning. ( t_0 >= 0 ) Givet: fr"F"{f(t)} = F(omega) fr"F"{f(t-t_0)} = int_(-oo)^oo f(t-t_0) e^(-jomegat) dt = [ tau = t-t_0; t = tau + t_0 => d tau = dt] = int_(-oo)^oo f(tau) e^(-jomega(tau + t_0)) d tau = e^(-jomegat_0) int_(-oo)^oo e^(-jomega tau) d tau = ew^(-jomegat_0) F(omega) g(t) = { e^(-(t-2)), t-2 >= 0; theta_1, t-2 < 0 } = f(t-2) (enligt förra exemplet) fr"F"{g(t)} = F{f(t-2)} = e^(-jomega*2) F(omega) = e^(-2*jomega)/(1+jomega) Quiz! Vad är |e^(-2*jomega)| ? (detta skall ni kunna enligt Sverrebojj) Svar: (spoiler alert) |e^(-2*jomega)| = |e^(j(-2omega))| = 1 :. |e^(-2jomega)/(1+jomega)| = |e^(-2jomega)|/|(1+jomega)| = 1/|1+jomega| = 1/sqrt(omega^2 + 1) Om vi nu vill använda Euler på detta: F(omega) = int_(-oo)^oo f(t) e^(-jomegat) dt = int_(-oo)^oo f(t)(cos(-omegat) + jsin(-omegat)dt) = int_(-oo)^oo f(t) cos(omegat) dt + (-j)int_(-oo)^oo f(t) sin(omegat)dt Fouriertransformen blir 100% reell om den är jämn, 100% imaginär om den är udda, båda om den är varken jämn/udda. Ex! fr"F"{e^(-a*|t|)} = (2a)/(omega^2+a^2) Kommentar: Denna funktion är precis som e^(-|t|) , fast den speglas i y-axeln.

Heavisides stegfunktion:

sigma(t) = { 1, t>=0; 0, t<0 } Kommentar: Vad som händer vid t=0 är inte så speciellt väsentligt enligt Sverre. Denna beteckning på stegfunktionen är, likt fouriertransformer, inte helt standariserad (tyvärr), man kan använda h i matlab. f(t) = { e^-t, t >= 0; 0, t < 0 } = sigma(t) e^-t , vilket gör att man kan skriva vissa uttryck utan brackets (sverre gillar det) Sverre rekommenderar att man gör en graf, så blir det tydligt vad som försiggår i sigmafunktionen.
Ex! f(t) = {cos(2t), 1 <= t < 3; 0, t < 1 eller t>= 3 } iff f(t) = cos(2t)(sigma(t-1)-sigma(t-3)) (det understa sättet att skriva det på är snyggare och mer koncist)