Föreläsning, 1 September 2017, Sverreboii

Given funktion f(t) med egenskaper: 1) f är periodisk med (känd) period T 2) Begränsad och styckvis deriverbar Då finns Fourierserien (summan) för f sådant att: f(t) = 1/2a_0 + sum_(k=1)^oo a_kcos(komega_0t)+b_ksin(komega_0t) Man kan skriva om Fourierserien som en komplex summa mha Eulers formel: cos x = 1/2(e^(jx)+e^(-jx)); sin x = 1/2(e^(jx)-e^(-jx)); j^2 = -1 Då får vi: f(t) = 1/2a_0 + sum_(k=1)^oo a_k*1/2(e^(jkomega_0t)+e^(-jkomega_0t))+b_k*1/2(e^(jkomega_0t)-e^(-jkomega_0t)) = 1/2a_0+sum_(k=1)^oo 1/2(a_k+1/jb_k)e^(jkomega_0t) + 1/2(a_k - 1/jb_k)e^(-jkomega_0t) => f(t) = 1/2a_0+sum_(k=1)^oo 1/2(a_k-jb_k)e^(jkomega_0t)+1/2(a_k+jb_k)e^jkomega_0t = sum_-oo^oo C_ke^(jkomega_0t)
... => C_k = 1/T int_d^(T+d)f(t)e^(-jkomega_0t)dt

Exempel!

Bestäm komplexa Fourierserien för periodiska funktionen f(t) med period T = 2pi , där f(t) = 1 iff |t| <= pi/2 f(t) = 0 iff pi/2 < |t| <= pi -T/2 <= t <= T/2 omega_0 = (2pi)/T = (2pi)/(2pi) = 1 Vi räknar ut C_0 först, så att summan inte itererar över noll (div med noll isåfall) f(t) = int_k C_k*e^(jkomega_0t) . Vad är C_0 ? C_0 = 1/T int_(-T/2)^(T/2)f(t)e^(j*0*1*t) dt =1/(2pi)int_(-T/2)^(T/2) 1dt = 1/(2pi)(pi/2-(-pi/2)) => C_0 = 1/2 f(t) = C_0 + sum_(k!=0)C_ke^(jkt) Vad är C_k? för k!=0 C_k = 1/T int_(-T/2)^(T/2)f(t)e^(-jkt)dt = 1/(2pi)int_(-pi/2)^(pi/2)e^(-jkt)dt = 1/(2pi) 1/(-jk)[e^(-jkt)]_(-pi/2)^(pi/2) = 1/(pi*k)(1/(-2j))(e^(-jkpi/2) - e^(jkpi/2)) => C_k = 1/(pi*k) 1/(2j)(e^(-jkpi/2) - e^(jkpi/2)) = sin(k*pi/2)/(pi*k) => f(t) = 1/2 + 1/pi sum_(k!=0)sin(k*pi/2)/k e^(jkt) Notera: C_k ~ 1/k Är det solklart att f(t) är reell? Nej det är det inte. Vi ska undersöka detta genom att ta godtyckliga värden på k och se på de första termerna. f(t) ~= 1/2 + 1/pi(sin(1*pi/2)/1 e^(jt)+sin(-1*pi/2)/-1 e^(-jt)+sin(2*pi/2)/2 e^(2jt) ...) = 1/2 + 1/pi(e^(jt) + e^(-jt) - 1/3e^(3jt) - 1/3e^(-3jt)) De två första termerna är 2cos(t) och de två sista är 2/3cos(3t) :. 1/2+2/pi cos(t) - 2/(3pi)cos(3t) ...vilket är reellt! Yihaa Om vi går tillbaka till när vi hade a_k och b_k , vad skulle de ha för värden? k >= 1: C_k = 1/2(a_k - b_kj) (Antag f och därmed a_k, b_k reella) a_k - jbk = 2C_k => a_k = 2Re(C_k) b_k = 2Im(C_k) :. a_k = 2Re(C_k) = 2Re(1/T int_d^(T+d) f(t)e^(-jkomega_0t)dt) = 2Re(1/T int_d^(T+d) f(t)(cos(-komega_0t)+jsin(-komega_0t)dt)) = 2/T int_d^(T+d) f(t) cos(komega_0t)dt Även: b_k = 2/T int_d^(T+d) f(t) sin(komega_0t)dt a_0 = 2/T int_d^(T+d) f(t) sin(0*omega_0t)dt = 2/T int_d^(T+d) f(t)dt => 1/2a_0 = 2/T int_d^(T+d) f(t)dt