Föreläsning, 9 Oktober, Perrebojen

Frekvensfunktion

Frekvensfunktion betecknas H(jomega). Tidskontinuerliga system med stabilt given överföringsfunktion H(s) har frekvensfunktionen H(jomega) , dvs sätter s=jomega => x(t) = e^(jomegat) -> y(t) = H(jomega)e^(jomegat) (det är stabilt om polerna ligger i någon av de vänstra kvadranterna)
S för kontinuerliga funktioner motsvaras av Z = e^(sT_s) = e^(jOmega)e^(sigmaT_s) för diskreta funktioner. Vi betraktar H(z) för Z = e^(jOmega) , där Omega in bbb"R" Omega representerar frekvens, n tid. Det kan visas att x[n] = e^(jnOmega) -> y[n] = H(e^(jOmega))e^(jnOmega) :. Harmonisk (sin eller cos) insignal -> Harmonisk utsignal med samma frekvens Omega (men i allmänhet inte samma fas/amplitud) Detta gäller enbart för stabila system (obviously).
Vad blir responsen från en insignal x[n] = A_0 cos(nOmega) ? Vi skriver om den: x[n] = A_0 (1/2e^(jnOmega) + 1/2e^(-jnOmega)) = A_0/2 e^(jnOmega) + A_0/2 e^(-jnOmega) * Nu kan vi transformera på var term för sig: H(e^(jOmega)) = H(z) = sum_(n=0)^oo h[n] sigma^-n = sum_(n=0)^oo h[n]e^(-jnOmega) = |H(e^(jOmega))e^(j*arg(H(e^(jOmega))))| = |H(e^(jOmega))e^(jphi(Omega))| , phi = arg(H(e^(jOmega))), phi in bbb"R" bar(H(e^(jOmega))) = bar(sum_(n=0)^oo h[n]e^(-jnOmega)) = sum_(n=0)^oo h[n]e^(jnOmega) = sum_(n=0)^oo h[n]e^(-jn(-Omega)) = H(e^(-jOmega)) => H(e^(-jOmega)) = bar(|H(e^(jOmega))|*e^(jphi(Omega))) = |H(e^(jOmega))|*e^(-jphi(Omega)) ** ** insatt i *: y[n] = A_0/2 H(e^(jOmega))e^(jnOmega) + A_0/2H(e^(-jOmega))e^(-jnOmega) => y[n] = A_0/2 |H(e^(jOmega))|*e^(jphi(Omega))e^(jnOmega) + A_0/2|H(e^(jOmega))|*e^(-jphi(Omega))e^(-jnOmega) = A_0|H(e^(jOmega))|*1/2(e^(j(nOmega+phi(Omega))) + e^(-j(nOmega+phi(Omega)))) = A_0|H(e^(jOmega))|*cos(nOmega + phi(Omega)) Slutsats: x[n] = A_0 cos(nOmega) -> y[n] = A_0 |H(e^(jOmega))|cos(nOmega+phi(Omega)) Om vi nu jämför insignalens amplitud med utsignalens amplitud: (A_0|H(e^(jOmega))|)/(A_0) = |H(e^(jOmega))| Quiz: Vad är då den fysikaliska tolkningen på beloppet av frekvensfunktionen? Svar: 'Gain' (förstärkning) Förutsatt stabilt system och transienten dör ut, så gäller ovan.
Ex. a) Lös diff y[n+1] - 1/2y[n] = x[n}, y[0] = 0 med x[n] = 5cos(n*pi/2) b) Bestäm stationär lösning för diff ovan (från frekvensfunktionen) Vi gör en snabb check och ser att systemet är stabilt (absolutbeloppet av varje pol är <= 1 ), vilket det är! Hurra. Z{cos(npi/2)}; Om vi nu ska klämma den i kostymen Z15: r = 1, Omega = pi/2, a = rcos(pi/2) = 1*0 = 0; b = rsin(pi/2) = 1*1 = 1 Ger: Z{cos(npi/2)} = (z(z-0))/((z-0)^2+1^2) = (z^2)/(z^2+1) Z{y[n+1]} = -1/2 Z{y[n]} = Z{5cos(npi/2)} iff zY(z)-zy[0]-1/2Y(z) = (5z^2)/(z^2+1) iff (z-1/2)(Y(z)) = (5z^2)/(z^2+1) iff Y(z) = 1/(z-1/2)*(5z^2)/(z^2+1) = (10z^2)/((2z-1)(z^2+1)) iff (Y(z))/z = (10z)/((2z-1)(z^2+1)) larr bb"PBU" => (Y(z))/z = 4/(2z-1) + (-2z+4)/(z^2+1) iff Y(z) = (4z)/(2z-1) - 2z^2/(z^2+1) + 4z/(z^2+1) => y[n] = 2*(1/2)^n - 2cos(npi/2) + 4sin(npi/2) => y_s[n] = 2cos(npi/2) + 4sin(npi/2) = sqrt((-2)^2+4^2)cos(npi/2+phi) b) Stationär lösning (direkt ur frekvensfunktionen) x[n] = 5cos(npi/2) = 5/2e^(jnpi/2) + 5/2e^(-jnpi/2) Utsignal/stationär lösning: y_s[n] = 5/2H(e^(jpi/2))e^(jnpi/2)+5/2H(e^(-jpi/2))e^(-jnpi/2) *
ProTip: e^(jpi/2) = j, e^(-jpi/2) = -j
:. H(e^(jpi/2)) = 1/(z-1/2) = 1/(0-1/2) = 1/(-1/2 + j) Förläng med komplexkonjugatet: = (1/2 - j)/(-1/2+j)(-1/2-j) = (1/2-j)/(5/4) = 4/5(-1/2-j) = -2/5-4/5j ** ** insatt i *: H(e^(-jpi)) = bar(H(e^(jpi/2))) = -2/5+4/5j :. y_s[n] = 5/2((-2/5-4/5j)e^(jnpi/2)+(-1/5+4/5j)e^(-jnpi/2)) = (-e^(jnpi/2)+e^(-jnpi/2)) + 2j(e^(-jnpi/2)-e^(jnpi/2)) = -2cos(npi/2) + 4*1/(2j)(e^(jnpi/2)-e^(jnpi/2)) = -2cos(npi/2)+4sin(npi/2)
A_(i n) = 5, A_(ut) = 2sqrt(5) A_(ut)/A_(i n) = (2sqrt(5))/5 = 2/sqrt(5) ~= 1 Vad är |H(e^(jOmega))|? |H(e^(jOmega))| = |1/(z-1/2)| = 1/|e^(jOmega)-1/2| = 1/|cosOmega + jsinOmega - 1/2| = 1/sqrt((cosOmega - 1/2)^2+sin^2Omega) = 1/sqrt(cos^2Omega - cosOmega + 1/4+sin^2Omega) => |H(e^(jOmega))| = 1/sqrt(5/4-cosOmega) Om vi plottar den med Omega på x-axeln och |H(e^(jOmega))| på y-axeln: