Föreläsning, 4 Oktober, Perreboi

Z{x[n]**y[n]} = Z{sum_(k=0)^n x[k]y[n-k]} = X(z)Y(z) Känt impulssvar h[n]: x[n] rarr [s] rarr y[n] = x[n]**h[n] = sum_(k=0)^n x[k] h[n-k]
Ex. Bestäm stegsvaret y[n] för system med överföringsfunktion H(z) = z/(z-2) . Kontrollera svaret med "vanlig" metod. Använd faltningssumma: Behöver h[n] = Z^-1{H(z)} = Z^-1{z/(z-2)} = 2^n Stegsvaret: y[n] = sigma[n]**h[n] = sum_(k=0)^n sigma[k]*h[n-k] = sum_(k=0)^n sigma[k]*2^(n-k) = h[n]**sigma[n] = sum_(k=0)^n h[k]*sigma[n-k] = sum_(k=0)^n 2^k = (2^(n+1)-1)/(2-1) = 2^(n+1)-1 Kontroll: Y(z) = H(z)Z{sigma[n]} = z/(z-2) z/(z-1) = z*z/((z-2)(z-1)) => (Y(z))/z = z/((z-2)(z-1)) = (2(z-1)-(z-2))/((z-2)(z-1)) = 2/(z-2) - 1/(z-1) iff Y(z) = 2*z/(z-2)-z/(z-2) larr bb"Z12" => y[n] = 2Z^-1{z/(z-2)} - Z^-1{z/(z-1)} = 2*2^n - 1^n = 2^(n+1)-1 , alltså stämde det!
Stabilitet från H(z) : H(z) = (T(z))/(N(z)) = (T(z))/((z-p_1)(z-p_2)...(z-p_k)) = bb"PBU" = (A_1z)/(z-p_1) + (A_2z)/(z-p_2) + ... + (A_nz)/(z-p_k) => h[n] = A_1p_1^n + A_2p_2^n + ... + A_np_k^n :. lim_(n->oo) h[n] = 0 iff stabilt system. Quiz: Vad gäller för polerna till H(z)? (p_1,p_2,...p_k) Svar: Alla poler har egenskapen |p_m| < 1, dvs de ligger innanför enhetscirkeln på det komplexa talplanet. Obs! Detta är inte samma samband som gäller för tidskontinuerliga system.
I figuren ovan så är absolutbeloppet av samtliga poler < 1, dvs H(z) är stabilt. L{f(t)} = int_0^oo f(t) e^(-st) dt; x[n] = f(nT_s), n heltal, T_s samplingsperiod. int_0^oo f(t) e^(-st) dt ~= sum_(n=0)^oo f(nT_s) e^(-snT_s)*T_s = T_s sum_(n=0)^oo x[n] (e^(sT_s))^-n = T_s*sum_(n=0)^oo x[n]*z^-n = T_sX(z) = [s = sigma+jomega] = e^((sigma+jomega)*T_s) = e^(jomegaT_s)*e^(sigmaT_s) = [Omega = omegaT_s] = e^(jOmega)*e^(sigmaT_s) Sätt z = p_m larr pol Villkoret för stabilitet: |p_m| < 1 iff |e^(jOmega)|*|e^(sigmaT_s)| < 1 iff e^(sigmaT_s) < 1 => sigma < 0

Stabilitet

ax^2+bx+c = 0 iff x = (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a), den Amerikanska pq-formeln. Givet överföringsfunktion H(z) = (z^2+7z)/(6z^2-z-1) avgör om systemet är stabilt. Bestäm stegsvaret. Sverre anser att abc-formeln är mer händig i de situationer då a != 1 , eftersom man slipper råka göra fel på minustecken och dylikt när man ska klämme ekvationen i pq-kostymen. Lös ekvationen 6z^2-z-1=0. bbb"ABC-formeln" iff z = (-(-1)+-sqrt((-1)^2-4*6*(-1)))/(2*6) = (1+-5)/12 => z = 1/2 vv z = -1/3 |1/2| < 1 ^^ |-1/3| < 1. :. det är ett stabilt system. 6z^2-z-1 = 6(z-(-1/3))(z-1/2) = 3(z+1/3)*2(z-1/2) = (3z+1)(2z-1) H(z) = (z^2+7z)/((3z+1)(2z-1)) Stegsvaret: y[n] = Z^-1{(z^2+7z)/((3z+1)(2z-1))*z/(z-1)} Y(z) = (z^2+7z)z/((3z+1)(2z-1)(z-1)) => (Y(z))/z = (z^2+7z)/((3z+1)(2z-1)(z-1)) PBU ger: (Y(z))/z = -1/(3z+1) - 3/(2z-1) + 2/(z-1) iff Y(z) = - z/(3z+1) - (3z)/(2z-1) + (2z)/(z-1) iff Y(z) = -z/(3(z+1/3)) - (3z)/(2(z-1/2)) + 2z/(z-1) => y[n] = -1/3 Z^-1{z/(z-(-1/3))} - 3/2 Z^-1{z/(z-1/2)} + 2Z^-1{z/(z-1)} iff y[n] = 2-3(1/2)^(n+1) + (-1/3)^(n+1) :. Stabilt.