Föreläsning, 3 Oktober, Perre

Om vi har en insignal som ser ut såhär:
(fyrkantsvåg) Så kan vi beskriva den mha följande: f(t) = sum_k b_k sin(komega_0t), omega_0 = 1 Man kan också skriva den på komplex form: f(t) = sum_k C_k e^(jkomega_0t)

Differensekvationer/Z-transform (forts)

ex. y[n+2] = y[n+1] + 2y[n]; y[0] = 3, y[1] = 0 , x[0] = 0 ('zero input') Vi applicerar Z-transform: Z{y[n+2]} = Z{y[n+1]} + Z{2y[n]} iff z^2Y(z) - z^2y[0] - - zy[1] = zY(z) - zy[0] + 2Y(z) iff (z^2 - z - 2)Y(z) = z^2y[0] + zy[1] - zy[0] = 3z^2 - 3z iff Y(z) = (z(3z-3))/(z^2-z-2) = (z(3z-3))/((z+1)(z-2)) iff Y(z)/z = (3z-3)/((z+1)(z-2)) = (2(z-2)+(z+1))/((z+1)(z-2)) = 2/(z+1) + 1/(z-2) iff Y(z) = 2 z/(z+1) + z/(z-2) iff y[n] = 2Z^-1{z/(z-(-1)} + Z^-1{z/(z-2)} = 2(-1)^n + 2^n Insatt i VL: 2^(n+2) + 2*(-1)^(n+2) = 4*2^n + 2*(-1)^n Insatt i HL: 2^(n+1) + 2*(-1)^(n+1) + 2(2^n + 2(-1)^n) = 2*2^n -2*(-1)^n + 2*2^n + 4(-1)^n = 4*2^n + 2*(-1)^n Det stämmer!
Vet: Z{a^n} = z/(z-a) larr giltigt för komplext a. Vill veta: Z{r^n cos(n Omega)} Obs! r och Omega är parametrar, z variabel. Z{r^n e^(jOmega)} = Z{r^n (e^(jOmega))^n} = Z{(re^(jomega))^n} = z/(z-re^(jOmega)); r^n*cos(nOmega) = r^n(1/2 e^(jnOmega) + 1/2 e^(-jnOmega)) = 1/2(re^(jOmega))^n + 1/2(re^(-jOmega))^n Z{r^n*cos(nOmega)} = (z(z-rcosOmega))/(z^2-2zr*cosOmega + r^2); Z{r^n sin(nOmega)} = (zrsinOmega)/(z^2-2zrcosOmega + r^2) Denne er för svår att klämme i sin rätteligen andragradskostym (den finns inte på formelbladet), så vi gör inte det. Vi använder istället Z15 och Z16. Definerar a och b : re^jOmega = rcosOmega + jrsinOmega = a+jb => a^2 + b^2 = r^2 (en omskrivning som ger stora fördelar jämtemot formelbladet) Ger: Z{r^n cos(nOmega) = (z(z-a))/(z^2 - 2za + a^2+b^2)} = (z(z-a))/((z-a)^2 + b^2); Z{r^n sin(nOmega)} = (bz)/((z-a)^2 + b^2)
ex. Z{(1/2)^n cos(n*pi/3)} = ? Här: Omega = pi/3, r = 1/2 => a = rcosOmega = 1/2 cos(pi/3) = 1/2*1/2 = 1/4; b = rsinOmega = 1/2 sin(pi/3) = sqrt(3)/4 :. Z{(1/2)^n cos(n*pi/3)} = (z(z-1/4))/((z-1/4)^2+(sqrt(3)/4)^2) = (z(z-1/4))/((z-1/4)^2 + 3/16) = (z(z-1/4))/(z^2-2 1/4*z + 1/16 + 3/16) = (z(z-1/4)/(z^2-1/2z+1/4) = z(4z-1)/(4z^2 - 2z + 1)

Överföringsfunktion

x[n] rarr [s] rarr y[n] x[n], y[n] bestäms av: a_2y[n+2] + a_1y[n+1] + a_0y[n] = b_1x[n+1] + b_0x[n]; y[0] = y[1] = x[0] = 0 (zero state) => (a_2z^2 + a_1z + a_0)Y(z) = (b_1z + b_0)X(z) iff Y(z) = (b_1z+b_0)/(a_2z^2+a_1z+a_0)X(z) Y(z) = H(z) X(z); H(z) = (bbb"z-transformen av utsignalen")/(bbb"z-transformen av insignalen") larr ett relativt värdelöst samband enligt Sverre, iom att man kan beräkna H(z) på andra sätt (se ovan) Om X(z) = 1 => Y(z) = H(z) Z{delta[n-n_0]}_(n_0 = 0) = Z^(-n_0) = 1 Z{delta[n]} = sum_(n=0)^oo delta[n]*Z^-n = 1*Z^-0 = 1 y[n] = Z^-1{H(z)*1} = h[n] larr bbb"definition" dvs x[n] = delta[n] => y[n] = h[n] Stegsvar: Om x[n] = sigma[n] är y[n] stegsvaret, dvs y[n] = Z^-1{H(z)*X(z)} = Z^-1{H(z)*z/(z-1)}
ex. Bestäm impulssvar och stegsvar för system med Överföringsfunktion H(z) = (3z)/(2z-1) Impulssvar: h[n] = Z^-1{(3-z)/(2z-1)} = Z^-1{(3z)/(2(z-1/2))} = 3/2 Z^-1{z/(z-1/2)} = 3/2*(1/2)^n => lim_(n->oo) h[n] = 0 Stegsvar: y[n] = Z^-1{H(z)*z/(z-1)} = Z^-1{(3z)/(2z-1)*z/(z-1)} = Z^-1{(3z)*z/((2z-1)(z-1))} = Z^-1{3z*z/((2z-1)(z-1))} = Z^-1{3z*((2z-1)-(z-1)/((2z-1)(z-1)))} = 3Z^-1{z/(z-1) - z/(2z-1)} = 3Z^-1{z/(z-1)} - 3/2 Z^-1{z/(z-1/2)} = 3 - 3/2(1/2)^n = 3-3*2^(-n-1)
Y(z) = H(z)X(z) delta[n] -> h[n] larr bbb"def. av impulssvaret" delta[n-k] -> h[n-k] larr bbb"(tidsinvarians, inte linjäritet)" x[k]delta[n-k] -> x[k]h[n-k] larr bbb"linjäritet" n>=0: sum_(k=0)^oo x[n]*delta[n-k] -> sum_(k=0)^oo x[k]*h[n-k] x[n] -> sum_(k=0)^n x[k]*h[n-k]. Slutsats: Insignalen x[n] ger utsignalen y[n] = sum_(k=0)^n x[k]*h[n-k] = x[n]**h[n] larr bbb"definition faltning!"