Föreläsning, 28 Aug 2017, Per-Sverre Svendsen

Energisignaler har följande egenskap: int_-oo^oo(y(t)^2 dt) Ex: Undersök om int_-oo^oo(y(t)^2 dt) existerar. int_-oo^oo(e^-t)^2 dt = int_0^oo(e^(-2t)) dt = ... = (0-1) = 1
Ex: 1/sqrt(t^2+1) Är det en signal? Svar: Ja! int_-oo^oo((1/(t^2+1))^2) dt = int_-oo^oo(1/(t^2+1)) dt = [arctan t]_-oo^oo = pi/2 - -(pi/2) = pi Om en signal inte blir noll, och inte oändlighet, vad tror ni den kallas då? Svar: Effektsignal (ist för energisignal/periodsignal)
Formelblad kommer att bifogas

Periodiska funktioner/signaler

Periodiskt = Upprepande Signal x(t) med egenskapen X(t)+T = x(t) för alla t in bbb R Tanken med periodiska funktioner är att de upprepas över tid. Funktionen ser ut som upprepande nerförsbackar tex. x(t) = cos t har ett kortaste tidsintervall av 2pi . => X(t + T) = X(t), här är T = 2pi . x(t) = A*cos(omega_0t+delta) omega_0*T=2pi iff T=2pi/omega_0 x(t+T) = A*cos(omega_0(t+T)+delta) = A*cos(omega_0*T+delta) = A*cos(omega_0*t+delta+2pi) = x(t) Vad händer om jag har mer än en cosinussväng då? x(t) = sin(3/5t)+3cos(6/7t) Finns det en gemensam period för dessa signaler? Antag! N*omega_0 = 3/5, M*omega_0 = 6/7 där N, M är heltal T = 2pi/omega_0 => x(t) = sin(Nomega_0t(t+2pi/omega_0)) + 3cos(Momega_0t(t+2pi/omega_0)) = x(t) = sin(Nomega_0t+N2pi) + 3cos(Momega_0t+M2pi) Vi vill ha låga värden på N och M, sådant att omega_0 blir så stort som möjligt. Vad är omega_0 och T ? (Nomega_0)/(Momega_0) = (3/5)/(6/7) = 7/10 = N/M Insatt: Nomega_0 = 3/5 iff 7omega_0 = 3/5 iff omega_0 = 3/35 => T = 2pi/omega_0 = 2pi/3/35 = 70pi/3 :. omega_0 = (SGD(p_1, p_2, ..., p_n))/(MGM(q_1, q_2, ... q_n) där p är täljare och q är nämnare i rationella tal i vinkelfrekvensen.
Allmänt gäller x(t) = 1/2alpha_0 + sum_(k=1)^oo(a_kcos(k*omega_0t)+b_ksin(k*omega_0t)) omega_0 = bb "Grundvinkelfrekvens" T = 2pi/omega_0 Det som sverre ritade på tavlan (upprepande nerförsbackar) kan inte byggas mha sin/cos-funktioner, pga de har inga spetsar.