Föreläsning, 28 November, Sverreboijen

Dubbelintegral (forts)

ex. ** int_D (int x/(y^2+1) dx)dy; D = {(x,y)inbbb"R"^2|x^2<=y<=1, x>=0} Kan beräknas som int_0^1 x (int_(x^2)^1 1/(y^2+1)dy)dx = ... Jobbigt! Sverre gillar inte att göra på sättet ovan. Han föredrar en omskrivning till x=sqrt(y) => ** = int_0^1 1/(y^2+1) (int_0^sqrt(y) x dx) dy = int_0^1 1/(y^2+1) [1/2 x^2]_0^sqrt(y) dy = 1/2 int_0^1 1/(y^2+1) ((sqrt(y)^2)-0) dy = 1/2 int_0^1 1/(y^2+1) y dy = [u = y^2+1 => (du)/(dy)=2y iff du=2ydy y=0 iff u=1; y=1 iff u=2] = 1/2*1/2 int_1^2 1/u du = 1/4[ln u]_1^2 = 1/4(ln2 - ln1) = (ln2)/4 Känns det rimligt? Uppskattar medelvärdet för funktionen. (barf)_u = (1/2)/((1/2)^2+1) = (1/2)/(5/4) = 4/5*1/2=2/5 Det blir en rejäl overshoot, Sverres teori är att x är mindre än 1/2 oftare än vad vi gissade på, men vi kör på med den här uppskattningen! A_0 ~= 1*1*1/2 = 1/2 larr (area på den orangea triangeln) Ger uppskattning på integralen: 1/2*(barf)_u = 1/2*2/5=1/5

Variabelbyte

** int_a^b f(x) dx larr Om integralen är enklare vid variabelbyte: x=x(u)=>(dx)/(du)=x'(u) iff dx = x'(u) du => ** = int_(u(a))^(u(b)) f(x(u)) x'(u) du int_(D_(xy)) int f(x,y) dxdy; D_(xy) x=x(u,v) iff u=u(x,y) y=y(u,v) iff v=v(x,y) Obs! Månsson använder d istället för del i nedanstående kostymer. Be aware int_(D_(uv)) int f(x(u,v),y(u,v)) |(del(x,y))/(del(u,v))| dudv; (del(x,y))/(del(u,v)) = |[ [(delx)/(delu),(delx)/(delv)], [(dely)/(delu),(dely)/(delv)] ]| larr Jacobi-determinanten.
ex. ** int_D int ((x+y)^2)/((x-y)^2+1) dxdy; D={(x,y)inbbb"R"^2|0<=x+y<=1, 0<=x-y<=1} Variabelbyte! u=x+y iff 2x=u+v iff x=1/2u+1/2v v=x-y iff 2y=u-v iff y=1/2u-1/2v => (del(x,y))/(del(u,v)) = |[ [(delx)/(delu),(delx)/(delv)], [(dely)/(delu),(dely)/(delv)] ]| = |[[1/2,1/2],[1/2,-1/2]]| = 1/2*(-1/2)-1/2*1/2=-1/4-1/4=-1/2 Variabelbytet ger följande integral (på u och v-axlarna): => ** = int_(D_(uv)) int (u^2)/(u^2+1)|-1/2| dudv = 1/2 int_0^1 u^2 du int_0^1 1/(u^2+1) dv = 1/2 [1/3u^3]_0^1*[tan^-1 v]_0^1 = 1/2*1/3*1^3(tan^-1 1-tan^-1 0 = 1/6(pi/4-0)=pi/24
x=rcostheta = x(r,theta) y=rsintheta = y(r,theta) Jacobi-determinanten: |[ [(delx)/(delu),(delx)/(delv)], [(dely)/(delu),(dely)/(delv)] ]| = |[[costheta,-rsintheta],[sintheta,rcostheta]]| = costheta*(rcostheta)-(-rsintheta)sintheta = r(cos^2theta+sin^2theta)=r int_(D_(xy)) int f(x,y) dxdy = int_(D_(r theta)) int f(rcostheta,rsintheta) r dr d theta ex. int_D int xy dxdy; D: x^2+y^2<=1, x>=0,y>=0 int_0^(pi/2)int_0^1 rcostheta*rsintheta*r drd theta = int_0^(pi/2) sintheta costheta d theta int_0^1 r^3 dr = int_0^1 u du [1/4r^4]_0^1=[1/2u^2]_0^1=1/8 ex. D: x^2+y^2<=1; int_D int sqrt(x^2+y^2)dxdy = int_(-1)^1(int_(-sqrt(1-x^2))^(sqrt(1-x^2)) sqrt(x^2+y^2) dy) dx = ... Jobbigt och svårt. Ej att rekommendera! Omvandla till polära koordinater. = int_0^(2pi) (int_0^1 r*r dr) d theta = int_0^(2pi) d theta * int_0^1 r^2 dr = 2pi[1/3r^3]_0^1=2pi*1/3=2pi/3
Bestäm volymen begränsad av ytorna z=8-x^2-y^2 och z=x^2+y^2 Det är volymen mellan dessa ytorna som vi ska bestämma alltså. x^2+y^2 <= 8-x^2-y^2 iff 2x^2+2y^2<=8 iff x^2+y^2<=4 Volymen: V = int_D (int (z_t-z_g)dx)dy = int_D int((8-x^2-y^2)-(x^2+y^2))dxdy = int_D int (8-2(x^2+y^2)) dxdy = 2 int_D int (4-(x^2+y^2))dxdy = 2 int_0^(2pi) int_0^2 (4-r^2) r dr d theta = 2*2pi int_0^2(4r-r^3) dr = 4pi[4*1/2r^2-1/4r^4]_0^2=4pi(2*2^2-1/4*2^4)=4pi(8-4)=16pi Om vi tar och rimlighetsbedömer detta. En cylinder med radie 2 och höjd 8 har volymen V_(cyl)=pi R^3*H = pi*2^2*8=32pi

Generaliserade integraler

int e^(-x^2) dx = ? Hur ska vi bestämma generaliserade integraler? int_0^oo e^(-x^2); int_-oo^oo e^(-x^2)
int_(bbb"R"^2) int f(x,y) dxdy = int_-oo^oo int_-oo^oo f(x,y) dxdy
ex. int_(bbb"R"^2) int e^(-x^2-y^2) dxdy Omvandlar till polära koordinater: int_0^(2pi) int_0^oo e^(-r^2) r dr d theta = int_0^(2pi) d theta int_0^oo e^(-r^2) rdr = 2pi[-1/2e^(-r^2)]_0^oo = ... = pi int_-oo^oo int_-oo^oo e^(-x^2)*e^(-y^2) dxdy = (int_-oo^oo e^(-x^2) dx)*(int_-oo^oo e^(-y^2)dy) = (int_-oo^oo e^(-x^2))^2 = pi