Föreläsning, 22 November, Sverreboij

Dubbelintegral

Om vi vill kolla på laddning i en sladd, eller hastighet under en tid så gör vi följande: Given funktion f(x) (styckvis kontinuerlig) i [a,b): Tillämpningar: int_(t_1)^(t_2) v(t) dt = s (sträcka under tiden t_1->t_2 ) Men! Hur gör vi när vi har en sladd som inte är en tunn cylinder? Definierar dubbelintegralen: D: a<=x<=b, c<=y<=d int int f(x,y) dx dy Hur ska vi 1) tolka dubbelintegralen? 2) Bestämma/beräkna dubbelintegralen? Sverre kommer att köra en "populärvetenskap"-introduktion till dubbelintegralen. Om man vill ha en mer traditionell introduktion så har Jonas Månsson det på Youtube. Om vi tänker tillbaka på envariabelanalysens introduktion till en (Riemann)integral var att dela upp f i N antal Delta -tunna segment av och sedan summera ihop dessa. Riemann-integralen definierades då av Delta->0, N->oo
Samma sak gäller i flervariabelanalysen. sum_(i=1)^N f(x_i,y_i) Delta A_i -> int_D int f(x,y) dxdy då Delta A_i->0, N->oo
Givet volym, begränsad av xy-planet och funktionsgrafen: Laddning: sigma(x,y), [sigma] = Cm^-2 int_D int sigma(x,y) dxdy = Q: Total laddning på D . Om sigma konstant: Q=int_D int sigma dxdy = sigma int_D int dxdy = sigma A_D
"Hur" beräknar vi en dubbelintegral? Man gör två "partiella integrationer" (begreppet är redan upptaget, därav citattecknen) på f där man integrerar med avseende på en variabel, medan man behandlar den andra som en konstant. Då får vi A(y) = int_a^b f(x,y) dx (ytan i en genomskärning) Integrerar vi den så får vi V = int_c^d A(y) dy , volymen begränsad av f och xy-planet. :. V = int_c^d (int_a^b f(x,y) dx) dy = int_a^b (int_c^d f(x,y) dx) dy= int_D int f(x,y) dxdy
ex. D: 0<=x<=1, 0<=y<=1, f(x,y)=xe^(xy) int_D int dxdy = int_0^1(int_0^1 xe^(xy) dy)dx = int_0^1 x(int_0^1 e^(xy)dy)dx = int_0^1 x [1/x e^(xy)]_0^1 dx = int_0^1 x*1/x(e^x-e^0) dx = int_0^1(e^x-1)dx = [e^x-x]_0^1 = (e^1-1)-(e^0-0)=e-2
Vi tittar på icke-rektangulära domäner. int_D int f(x,y) dxdy; D = { (x,y) in bbb"R"^2 | 0<=y<=x^2, 0<=x<=2 } Sverre rekommenderar att skissa D om den är något annat än en box. I det här fallet: y=x^2 int_0^2(int_0^(x^2) f(x,y) dy) dx Om vi tycker att det är jobbigt med att börja med y-integralen så kan vi vända på det. y=x^2 iff x=sqrt(y) (endast positiv rot eftersom 0<=x<=2 ) = int_0^4(int_(sqrt(y))^4 f(x,y) dx) dy
Medelvärde för en funktion f (från envariabelanalysen): (int_a^b f(x) dx)/(b-a) = bar f iff int_a^b f(x) dx = bar f (b-a) Alltså så kan vi mha medelvärdet för funktionen beräkna integralen över ett område. Exempel för hastighet: s = int_(t_1)^(t_2) v(t) dt = bar v(t_2-t_1) Vi använder detta faktum i flervariabelanalysen: Given f(x,y), D där f_(max), f_(min) känd. A_0 = int_D int dxdy f_(min) <= f(x,y) <= f_(max) iff int_D int f(x,y) dxdy <= int_D int f_(max) iff f_(min) A_0 <= int_D int f(x,y)dxdy <= f_(max) A_0 iff f_(min) <= (int_D int f(x,y) dxdy)/(A_0) <= f_(max) iff f_(min) <= barf <= f_(max) Tillämpningar på detta? Jo, man om man kan göra en kvalificerad gissning av f (om f inte förändras alltför mycket) så kan man approximera en dubbelintegral. Det är en "fail-check" som kan ge en ledning.
Dubbelintegral definierad av medelvärdet av f . int_D int f(x,y) dxdy = barf*int_D int dxdy
ex. Beräkna dubbelintegralen int_D (int f(x,y) dx)dy där D = {(x,y)in bbb"R"^2 | x^2+y^2<=1, x>=0,y>=0} och f(x,y) = xy Sverre observerar att D är första kvadranten av enhetscirkeln. Just i det här fallet krävs inget variabelbyte till polära koordinater, men Sverre vill ge en cliffhanger för detta. D ger y som funktion av x (används som gräns för integralen nedan): y=sqrt(1-x^2) int_0^1(int_0^(sqrt(1-x^2)) xy dy) dx = int_0^1 x (int_0^(sqrt(1-x^2)) y dy) dx = int_0^1 x [1/2 y^2]_0^(sqrt(1-x^2)) dx = 1/2 int_0^1 x ((sqrt(1-x^2))^2 dx) = 1/2 int_0^1 x(1-x^2) dx = 1/2 int_0^1(x-x^3)dx = 1/2[1/2x^2-1/4x^4]_0^1 =1/2(1/2*1^2-1/4*1^4)=1/2*1/4=1/8 Är det rimligt? Vi tittar på största/minsta värde. xy=rcostheta*rsintheta=r^2 costheta*sintheta=1/2r^2 sin(2theta) f_(max) inträffar då sinusen ovan blir ett. f_(max) = 1/2 f_(min) är 0 (trivialt uppenbart) Uppskattning: (barf)_u ~= (f_(min)+f_(max))/2 = (1/2+0)/2=1/4 A_D=1/4 pi R^2 = pi/4 (barf)_u*A_D = 1/4*pi/4=pi/16=pi/2*1/8 Sverre hamnade "in the ball park", uppskattningen fick en viss felmarginal men det bekräftar lite att hans huvudsakliga uträkning inte är helt ute och cyklar.
ex. int_D(int sinx/x dx)dy, D: Området i första kvadrant begränsad av y=x och x=pi/2 int_0^(pi/2)(int_y^(pi/2) sinx/x dx)dy ... Jobbigt! int_0^(pi/2)(int_0^x sinx/x dy) dx = int_0^(pi/2)sinx/x (int_0^x dy) dx = int_0^(pi/2) sinx dx = [-cosx]_0^(pi/2) = -cos(pi/2)-(-cos0)=0+1=1 "Kontroll"! Uppskattar medelvärdet: f_(min) = lim_(x->0)sinx/x=1; f_(max)=(sin(pi/2))/(pi/2)=1/(pi/2)=2/pi barf_u ~= (f_(max)+f_(min))/2 = (1+2/pi)/2 A_D=1/2(pi/4)^2=(pi^2)/8 => barf_u*A_D=1/2(1+2/pi)*pi^2/8=pi^2/16(1+2/pi) ~= 1.01 Vår kontroll gav en diff på endast 1% , väldigt bra! Då vet vi att vi definitivt har rätt.