Föreläsning, 20 November, Sverre

Globala/absoluta extremvärden (forts).

ex. Bestäm största och minsta värde för f(x,y)=x^2+y^2 på området D={(x,y) in bbb"R"^2 |x+y<=10, xy>=9, x>0} Är området kompakt? Vi undersöker detta. x+y<=10 iff y <= 10-x x+y>=9 iff {y >= 9/x, x>0; y < 9/x, x<0} Observera att D inkluderas av randen. Alltså: Området D ligger inom området som begränsas av linjerna y=10-x och y=9/x . Skär de varandra? 9/x=10-x iff 9=10x-x^2 iff x=5-4 vv x=5+4 iff x=1 vv x=9 larr OK! a) Inre stationära punkter: {f_x=0,f_y=0} iff {del/(delx)(x^2+y^2)=0,del/(dely)(x^2+y^2)=0} iff {2x=0, 2y=0} iff (x,y)=(0,0) larr !in D Alltså inte inre punkt för D iff punkten ligger på randen. b) På randen: 1) (x,y)=(x,9/x), 1 <= x <= 9: f(x,9/x)=x^2+(9/x)^2=x^2+8/(x^2) = g(x) Max/min-värden kan hittas där derivatan är noll. g'(x)=2x+81*d/(dx)(x^-2)=2x+81*(-2)*x^(-2-1)=2x-2*81/(x^3) = 0 iff x^4=81 iff x=3 vv (x=-3) => y=9/x=9/3=3 Nu har vi alltså följande intressanta punker: (1,9),(9,1),(3,3) 2) (x,y)=(x,10-x),1<=x<=9: f(x,10-x) = x^2+(10-x)^2 = 2x^2-20x+100=h(x) h'(x)=0 iff d/(dx)(2x^2-20x+100)=4x-20=0 iff x=20/4=5 Ger ytterligare intressant punkt: (5,10-5)=(5,5) Jämförelse: f(1,9)=f(9,1)=9^2+1^2=81+1=82; f(3,3)=3^2+3^2=9+9=18; f(5,5)=50 :. f_(max)=82; f_(min)=18 Detta ger 5 poäng på tentan.

Optimering med bivillkor (ekvation)

Vill bestämma (om möjligt) största/minsta värde för f(x,y) under bivillkoret g(x,y)=C, C konstant. Quiz (lurig): Hur vet jag att största/minsta värde kommer att återfinnas på kurvan g(x,y) ? Svar: Iom att g(x,y) är sin egen rand så är den kompakt, alltså så återfinns f_(max) och f_(min) någonstans längst g(x,y) Om g(x,y)=C iff {x=x(y), y=y(x)} rarr insatt tex: f(x(y),y)= funktion av y (envariabelanalys) Om f(x,y) har ett min/max-värde för (x,y)=(a,b) med bivillkoret g(x,y)=C (speciellt: g(a,b)=C ) gäller:
Lagranges multiplikatormetod: gradf(a,b)=lambda gradg(a,b), lambda multiplikator.
exempel på satsen ovan: { g(x,y)=C, (f_x(a,b),f_y(a,b))=lambda(g_x(a,b),g_y(a,b))} iff { f_x(x,y)=lambda g_x(x,y), f_y(x,y)=lambda g_y(x,y), g(x,y)=C}
ex. Bestäm (om möjligt) största/minsta värde för f(x,y)=x+5y med bivillkor g(x,y)=x^2+xy+y^2=7 larr snedställd ellips. Lagranges ger {f_x=lambda g_x, f_y=lambda g_y} iff {del/(delx)(x+5y)=lambda del/(delx)(x^2+xy+y^2),del/(dely)(x+5y)=lambda del/(dely)(x^2+xy+y^2)} iff {1=lambda(2x+y), 5=lambda(x+2y)} ** => lambda(x+2y)-5lambda(2x+y)=5-5*1=0 iff lambda(x+2y-10x-5y)=0 iff lambda(-9x-3y)=0 iff lambda = 0 vv -9x-3y=0 lambda = 0 ger 5=0 och 1=0 i ** , alltså är det en "falsk rot". iff 3y=-9x iff y=-3x Insatt i bivillkoret: x^2+x(-3x)+(-3x)^2=7 iff x^2-3x^2+9x^2=7 iff 7x^2=7 iff x=±1 Ger intressanta punkter: (x,y)=(1,-3) och (x,y)=(-1,-3*(-1))=(-1,3) Ger värden: f(1,-3)=-14; f(-1,3)=14 => f_(max)=14, f_(min)=-14
ex. Bestäm min/max för f(x,y)=x^2y med bivillkor x+y=1 {f_x=lambda g_x, f_y=lambda g_y} iff {2xy=lambda*1, x=lambda*1} => 2xy-x^2=0 iff x(2y-x)=0 iff x=0 vv x=2y x=0 i bivillkoret: 0+y=1 iff y=1, dvs punkten (0,1) x=2y i bivillkoret: 2y+y=1 iff y=1/3 => x=2/3, dvs (2/3,1/3) Värden: f(0,1)=0, f(2/3,1/3)=(2/3)^2*1/3=4/27 g(x,y) i f(x,y): x^2(1-x)=x^2-x^3 lim_(x->+oo): f(x,1-x) -> -oo lim_(x->-oo): f(x,1-x) -> oo Varför failade då Lagranges med att hitta min/max? Jo, för att bivillkoret motsvarar inte en kompakt mängd!
ex. Bestäm (om möjligt) min/max för f(x,y,z)=x-2y+5z med bivillkor x^2+y^2+z^2=30 Uppenbart: g(x,y) är ett klot med radie sqrt(30) . Vi skulle kunna titta på z=±sqrt(30-x^2-y^2); D_z: x^2+y^2 <= 30 och använda metoder som vi gjorde förra veckan, men med Lagranges ekvation blir det kortare och enklare. gradf=lambda gradg iff { f_x = lambda g_x, f_y = lambda g_y, f_z = lambda g_z } iff {1=lambda*2x,-2=lambda*2y,5=lambda*2z} Vi kan förutsätta att x,y,z är skilda från noll (motsatsen ger likheter som inte stämmer) => {(lambda*2z)/(lambda*2x)=5, (lambda*2y)/(lambda*2x)=-2/1} => {z=5x, y=-2x} iff (x,y,z)=(x,-2x,5x) larr insatt i bivillkoret: x^2+(-2x)^2+(5x)^2=30 iff 30x^2=30 iff x=±1 x=1 ger punkten (1,-2,5) vilket ger f(1,-2,5)=30 x=-1 ger punkten (-1,2,-5) vilket ger f(-1,2,-5)=-30 :. f_(min)=-30; f_(max)=30