Föreläsning, 15 November, Sverrepåg

Lokala extremvärden.

Givet stationär punkt för funktion f(x,y) vid (x,y)=(a,b), dvs f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 f(a+h,b+k)~=f(a,b)+1/2(f_(x x)(a,b)h^2+2f_(x y)(a,b)hk+f_(y y)(a,b)k^2) = f(a,b)+1/2(Ah^2+2Bhk^2+Ck^2) Antag: A=C=2, B=4 => f(a+h,b+k)~=f(a,b)+h^2+4hk+k^2 Vi skriver om h^2+4hk+k^2 : h^2+2*2hk+(2k)^2-(2k)^2+k^2=(h+2k)^2-3k^2 :. f(a+h, b+k)~=f(a,b)+(h+2k)^2-3k^2 Ansätt h+2k lika med noll: h+2k=0 iff h = -2k :. { f(a-2k,b+k)~=f(a,b)-3k^2, f(a+h,b)~=f(a,b)+h^2 } Slutsats: (a,b) ger en sadelpunkt! Alternativt sätt att lösa det på (utan kvadratkomplettering):
Definierar Delta=AC-B^2 larr f_(x x)f_(y y)-(f_(x y))^2 Delta>0 ^^ A>0 => Lokalt minimum i (a,b) Delta>0 ^^ A<0 => Lokalt maximum i (a,b) Delta<0 => Sadelpunkt i (a,b) Delta=0 => Ingen slutsats för andraderivatan till f .
Sverres eftertanke: Om A och C har olika tecken (och skilda från noll) så blir Delta alltid negativt.
Följande kommer ej på tentan: f(x,y) = x^4+y^4 Stationär i (0,0) f_x(0,0)=f_y(0,0) f_(x x)(0,0)=f_(y y)(0,0)=f_(x y)(0,0) Vi får alltså ingen information från deltatestet. Vi får lokalt och globalt minimum i (0,0)
ex. Bestäm och karaktärisera (lokalt min/max eller sadelpunkt) alla stationära punkter för: f(x,y) = x^2-4xy+2xy^2, D_f=R^2 Sverre observerar att f är deriverbar för alla värden i D_f . {f_x=0, f_y=0} iff {del/(delx)(x^2-4xy+2xy^2)=0, del/(dely)(x^2-4xy+2xy^2)=0} iff {2x-4y+2y^2=0, -4x+4xy=0} iff {x-2y+y^2=0, -x+xy=0} iff {x-2y+y^2=0, x(y-1)=0} iff (x-2y+y^2) ^^ (x=0 vv y=1) iff (x=0 ^^ x-2y+y^2) vv (y=1 ^^ x-2y+y^2) Subtituera in y=1 och x=0 i respektive ekvation iff (x=0 ^^ y(-2+y)=0) vv (y=1 ^^ x=1) iff (x,y)=0 vv (x,y)=(0,2) vv (x,y)=(1,1) f_(x x)(x,y)=del/(delx)(f_x)=del/(delx)(2x-4y+2y^2)=2=A f_(x y)(x,y)=del/(dely)(f_x)=del/(dely)(2x-4y+2y^2)=4y-4=B f_(x y)(x,y)=del/(dely)(f_y)=del/(dely)(-4x+4xy=0)=4x=C Nu kör vi deltaformeln på (a,b)=(0,0) Delta = (AC-B^2)_(0,0)=2*0-(-4)^2=-16 Delta<0 => (0,0) ger sadelpunkt. Deltaformeln på (a,b)=(0,2): Delta = (AC-B^2)_(0,2)=2*0-4^2=-16 => (0,2) ger sadelpunkt Delta = (AC-B^2)_(1,1)=2*4-(4-4)^2=8 => Delta>0 ^^ A>0 => (1,1) ger lokalt minimum f(1,1)=1^2-4*1*1+2*1*1^2=-1; f(x,x)=x^2-4x^2+2x^3=2x^3-3x^2 Kan vi utifrån detta säga om f har globalt maximum/minimum? För stora värden på x (x->±oo) så kommer 2x^3-3x^2 att växa åt ±oo

Globala/absoluta extremvärden

Vi kan dra tillräckliga men inte nödvändiga villkor till största/minsta värden. Tyvärr så måste vi då snacka öppna/stängda mängder. (mindre roligt tycker Sverre)
Om D innehåller randen så är D sluten. Om D kan inneslutas i en ändlig cirkel är D begränsad. Om D är både sluten och begränsad så är D kompakt.
Om f(x,y) är definierad och kontinuerlig på en kompakt mängd så finns f_(min) och f_(max) . Globala extremvärden finns då vid antingen inre stationära punkter eller på randen.
Sverre kommer i den här kursen att förhålla sig till de funktioner där de partiella derivatorna existerar i alla punkter.
Globala extremvärden bestäms ur: a) Hitta alla stationära punkter b) Bestäm extremvärden på randen c) Jämför värden från a) och b) Om en punkt är ett globalt maximum/minimum så är det också ett lokalt maximum/minimum.
Ex. f(x,y)=x^2+y^2; D={(x,y)|0<=x<=1,0<=y<=2} En snabb överblick och ett skarpt matematiskt öga ser globala max/min: f(0,0)=f_(min)=0; f(1,2)=1^2+2^2=5=f_(max) Har vi stationära punkter? {f_x=0,f_y=0} iff {2x=0,2y=0} => (x,y) = (0,0) Är mängden kompakt? Ja, den är begränsad och sluten.
ex. f(x,y)={1/(x^2+y^2),(x,y)!=(0,0); 2, (x,y)=(0,0)} :. D={(x,y) in bbb"R"^2 | x^2+y^2<=1} larr kompakt. f_(min)=1 larr på randen. f_(max) då? Jo, jag kan få hur stora värden som helst om jag håller mig precis över noll. Alltså, f_(max) saknas. Men! Går inte det emot vad jag sa förut med att kompakta mängder har f_(min) och f_(max) definierade? Svar: Nejdå, f är inte kontinuerlig, alltså så gäller inte den satsen här.
ex. Bestäm största/minsta värde för f(x,y)=(x^2+2y^2)e^(-x^2-y^2) på D={(x,y)in bbb"R"^2|x^2+y^2<=4} Statiska punkter: {del/(delx)((x^2+2y^2)e^(-x^2-y^2)=0); del/(dely)((x^2+2y^2)e^(-x^2-y^2))=0} iff {2xe^(-x^2-y^2)+(x^2+2y^2)(-2x)e^(-x^2-y^2)=0; 4ye^(-x^2-y^2)+(x^2+2y^2)(-2y)e^(-x^2-y^2)} iff {2x(1-(x^2+2y^2))e^(-x^2-y^2)=0; 2y(2-(x^2+2y^2))e^(-x^2-y^2)=0} iff {(x=0 vv x^2+2y^2=1) ^^ (y=0 vv x^2+2y^2=2)} Nu kan vi inte kombinera hejvilt! x^2+2y^2 kan inte vara 1 och 2 samtidigt. iff (x,y)=(0,0) vv (x=0 ^^ x^2+2y^2=2) vv (y=0 ^^ x^2+2y^2=1) iff (x,y)=(0,0) vv (x,y)=(0,±1) vv (x,y)=(±1,0) I det här fallet så är det inte jätteintressant om det är +1 eller -1 i ±1 , iom att vi kvadrerar alla x och y i funktionen. På randen, dvs x^2+y^2=2^2: Parametrisera: {x=2cost, y=2sint}, 0 <= t < 2pi :. f(2cost,2sint)=((2cost)^2+2(2sint)^2)e^-4=(4cos^2t+8sin^2t)e^-4 =4/(e^4)(cos^2t+2sin^2t)=4/(e^4)(1+sin^2t)=g(t) 4/(e^4) <= g(t) <= 8/(e^4) Min/max vid t=0,pi,pi/2,(3pi)/2 motsvarande punkterna (±2,0),(0,±2) Jämförelse: f(0,0)=0; f(±1,0)=1/e, f(0,±1)=2/e;f(±2,0)=4/e^4;f(0,±2)=8/e^4 Vad är då största värdet? Lite överslagsräkning: 8/e^4 = (2*4)/(e*e^3)=2/e*4/e^3 Om man tänker att e~=2 så blir den senare faktorn 4/e^3~=4/2^3=1/2 Alltså 2/e*1/2=1/e, vilket är mindre än 2/e . :. f_(max)=f(0,±1)=2/e; f_(min)=f(0,0)=0 Parametriserar randen med parameter R : D: x^2+y^2 <= R^2 På randen: f(Rcost,Rsint)=(R^2cos^2t+2R^2sin^2t)e^(-R^2)=(1+sin^2t)*R^2*e^(-R^2)<=2R^2*e^(-R^2)->0 då R->oo