Föreläsning, 13 November, Sverreboj

Gradient/Nivåtor/Nivåkurvor

Given f: R^3 -> R Någon nivåyta för f med ekvation f(x,y,z) = k, k in V_f
Quiz: Jag ställer mig på den här ytan i punkten (a,b,c) jag rör mig en väldigt liten sträcka parallellt med planet (tangenten). Vad kommer då min hastighet vara? Svar: Noll. Riktningsderivatan är noll.
:. Om hatu_1, hatu_2,hatu_3,... är parallella med tangentplanet för ytan i punkten (a,b,c) så gäller: f_(hatu_1)'(a,b,c) = f_(hatu_2)'(a,b,c) = ... = 0 iff hatu_1*gradf(a,b,c) = hatu_2*gradf(a,b,c) = ... = 0 => gradf(a,b,c) _|_ vecu_1,... => vecn = gradf(a,b,c) Innan: z = f(x,y) Tangentplansekv. i en punkt (a,b,f(a,b)): z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) iff f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) +(-1)(z-f(a,b)) = 0 => vecn = (f_x(a,b),f_y(a,b),-1) iff f(x,y)-z=g(x,y,z)=0 Grafyta/nivåyta Ger vecn=gradg(a,b,f(a,b))=((delg)/(delx),(delg)/(dely),(delg)/(delz))_(a,b,f(a,b)) = (f_x(a,b),f_y(a,b),-1) :. Samma resultat som vi fick innan.
f: R^2 -> R; f(x,y)=k, k in V_f: ekvation för nivåkurva Quiz: Hur vet jag i vilken riktning som gradf pekar relativt kurvan? Svar: Dit f ökar mest (derivatan är störst). Bonus knowledge: gradf(a,b) är alltid vinkelrät mot tangenten i (a,b)
Om vi tar "Berget" från förra hemuppgiften. z=f(x,y)=1/(1+x^2+y^2); gradf=((-2x)/((1+x^2+y^2)^2),(-2y)/(1+x^2+y^2)^2) = -2/((1+x^2+y^2)^2)(x,y) Vi tittar på nivåkurvan till den. f(x,y) = k iff 1/(1+x^2+y^2)=k iff 1+x^2+y^2=1/k iff x^2+y^2=1/k-1 = (1-k)/k iff r = sqrt((1-k)/k), r^2 = x^2+y^2 gradf är antiparallell med grafen och pekar rakt in mot origo.

Räkneexempel på detta.

Bestäm ekv för tangentplanet för ytan (med ekvation) xz^5+xyz=9 vid p=(3,2,1) Vi börjar med att kolla om punkten ligger på ytan. p i ekv: 3*1^5+3*2*1=9 larr OK! Vi behöver gradienten till f(x,y,z)=xz^5+xyz . gradf(3,2,1)=((delf)/(delx),(delf)/(dely),(delf)/(delz))_(3,2,1) = (z^5+yz,xz,5xz^4+xy)_(3,2,1) =(1^5+2*1,3*1,5*3*1^4+3*2) = (3,3,21) = 3(1,1,7) Vi väljer (1,1,7) som normalvektor. :. vecn = (1,1,7) vec"p_0 p_1" _|_ vecn iff vec"p_0 p_1"*vecn=0 iff (vec"O p_1"-vec"O_p_0")*vecn=0 iff ((x,y,z)-(3,2,1))*(1,1,7)=0 iff (x-3,y-2,z-1)*(1,1,7)=0 iff x-3+y-2+7(z-1)=0 iff x+y+7z-3-2-7=0 iff x+y+7z=12 Om man råkar tappa bort en konstant här på slutet så blir det lite avdrag. Men! Hade man fått någon x-kvadrat så hade det blivit noll poäng. Det är värdefullt att inse att man har fel på tentan. Det finns en hel industri för detta. Om man har en jobbig funktion f så kan man bestämma f_max genom att ställa sig i punkten (a,b,c) och gå i gradientens riktning. Upprepa tills gradienten inte längre växer. //Hitta `f_max` p = (a,b,c) while(true){ g = grad(f(p)) if(g > 0){ p += g } else { return p } }
Högre ordningens derivator: y=f(x);f'(x),f^″(x),f^″'(x),f^(4)(x),... f(x,y): f_x(x,y)=(delf)/(delx),f_y(x,y)=(delf)/(dely) Andra ordningen (definition): del/(delx)((delf)/(delx)) = {(del^2f)/(delx^2), f_(x x)} (motsvarande gäller även för y) del/(dely)((delf)/(delx)) = {del/(dely)(f_x)=(f_x)_y=f_(xy), (del^2f)/(dely delx)} Om f_(xy) och f_(yx) är kontinuerliga så gäller f_(xy)=f_(yx) Detta sättet att resonera är likt Warning: Incoming Linjär Algebra A(BX) = B(AX) tycker Sverre.

Lokala extrema och stationära punkter.

ex. Given D_f=R^2: f(x,y)=3+(x-1)^2+(y-2)^2 f(x,y) >= f(1,2) = 3 I sedvanlig ordning tycker Sverre att det är viktigt med att ha det klart för sig hur funktionsgrafen ser ut. Den här ser ut som en z=x^2+y^2 -skål fast offsettad med 3 uppåt. :. f_min = f(1,2)=3; f_max saknas. Om vi nu istället tar g(x,y) = 3+(x-1)^2+(y-2)^2-(y-2)^3 . Vi kan resonera kring y~=2: g(x,y)~=f(x,y) Vi betraktar g(1,y)=3+(y-2)^2-(y-2)^3, låt y->+oo => g(1,y)->-oo => g_min saknas. Alltså så saknar funktionen globala minimum och maximum, men har lokalt minimum vid (1,2) . Om vi lägger ett tangentplan vid f_min så kommer det att vara parallellt med xy-planet, och normalen vecn är parallell med z-axeln. -f_x(a,b)(x-a)-f_y(a,b)(y-b)+1*(z-f(a,b))=0 De två första termerna måste vara lika med 0 vid f_min , vilket makes sense tycker Sverre iom att i en minimumpunkt så är partiella derivatorna i xy-riktningarna noll. iff z=f(a,b) Alltså. Om (delf)/(delx) eller (delf)/(dely) är noll så finns det ett lokalt maximum eller minimum. KANSKE! Det är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för f_min och f_max . Vi kollar på y=f(x)=x^3 f'(x)=3x^2; f'(0)=0 Noll är en terasspunkt i det här fallet. Precis samma sak händer alltså i flervariabelanalysen ovan; då kallas det för "Sadelpunkt" istället.
Sammanfattning: Om f_x(a,b) och f_y(a,b) existerar och f(x,y) har lokalt min/max i punkten (a,b) gäller: f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 larr Stationär (kritisk) punkt.
Antag (a,b) är stationär: f(a+h,b+k) ~= f(a,b) + f_x(a,b)h+f_y(a,b)k larr Linjär approximation Men! Eftersom f_x(a,b)h och f_y(a,b)k är noll så är den linjära approximationen totalt strukturlös (det är en punkt). Den duger alltså inte! Man löser detta genom göra en linjär approximation i samma punkt, men förskjutet med h och k Warning: Incoming Envariabelanalys Taylorutvecklingen av f(a+h) ~= f(a)+f'(a)h+1/2f^″(a)h^2+... :. f(a+h,b+k) ~= f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+1/2(f_(x x)(a,b)h^2+2f_(xy)(a,b)hk+f_(y y)(a,b)k^2) , här f_(xy)(a,b)=f_(yx)(a,b) Sverre har lite egen termologi här: A = f_(x x)(a,b) B = f_(x y)(a,b) C = f_(y y)(a,b) => f(a+h,b+k)~=f(a,b)+1/2(Ah^2+2Bhk+Ck^2)
ex. Antag (a,b) stationär och A=C=2, B=0. => f(a+h,b+k)~=f(a,b)+1/2(2h^2 + 2*0*hk + 2k^2) = f(a,b)+h^2+k^2 Lokalt minvärde för (x,y)=(a,b) A=2,C=-2,B=0: f(a+h,b+k)~=f(a,b)+h^2-k^2 => 1) f(a+h,b) ~= f(a,b)+h^2 2) f(a,b+k)~=f(a,b)-k^2 Sverre tycker att det låter bättre om man säger att punkten (a,b) ger en sadelpunkt, istället för att säga att (a,b) är en sadelpunkt.