Föreläsning, 11 November, Sverreboj

Implicit partiell derivering

Sverre hoppas på att det här ska bli ett "neat" trick som vi kommer uppskatta mycket. ex. f: R^3->R f(x,y,z) = K (K in V_f) iff z = g(x,y)
exempel på en "enkel" omskrivning för z=g(x,y): x^2+y^2+z^2=1 iff z=+-sqrt(1-x^2-y^2)
exempel på en "svår" omskrivning för z=g(x,y) x^3+y^3+z^3+6xyz+4=0 **
Givet en punkt så att punkten uppfyller **: p = (1,-1,2) p insatt i **: 1^3+(-1)^3+2^3+6*1*(-1)*2+4 = 1-1+8-12+4=0 larr OK!
Synsätt: ** definierar z=g(x,y) nära p . x,y är oberoende variabler, z beroende.
Vi vill veta z_x(1,-1) och z_y(1,-1) , alltså (g_x(1,-1),g_y(1,-1)), där g(1,-1)=2
Anmärkningsvärt är att partiella derivatan (del)/(delx)(y) är 0 , vilket makes sense (om man deriverar med avseende på x i f(y) så är y parameter, alltså blir den noll)
del/(delx)(**) = del/(delx)(x^3+y^3+z^3+6xyz+4) = 0 iff 3x^2+3z^2 z_x + 6yz + 6xyz_x = 0 iff x^2+z^2z_x+2yz+2xyz_x=0 iff z_x(z^2+2xy) = -x^2-2yz iff z_x = -(x^2+2yz)/(z^2+2xy) Det här var ju relativt värdelöst...vi fick ju bara ett uttryck för en partiell derivata som är beroende av sig själv. z_x = f(x,y,z) Men! Vi ska bara titta i punkten p . :. z_x(1,-1) = (-(x^2+2yz)/(z^2+2xy))_(1,-1,2) = 3/2 Symmetri i x och y ger z_y = -(y^2+2xz)/(z^2+2xy) => z_y(1,-1) = (-(y^2+2xz)/(z^2+2xy))_(1,-1,2) = -5/2 Detta ger den linjära approximationen för z=g(x,y) nära p: z=g(1,-1)+g_x(1,-1)(x-1)+g_y(1,-1)(y+1) = 2+3/2(x-1)-5/2(y+1) Vi kan testa detta med lite siffror! x=1.1, y=-1.1 ger z = 2+3/2(1.1-1)-5/2(-1.1+1)=2.4 Om vi jämför med exakt insättning i **: 1.1^3+(-1.1)^3+z^3+6*1.1*(-1.1)z+4=0 Detta är en tredjegradsekvation utan en andragradsterm. iff z ~= -2.94 vv z ~= 0.577 vv z ~= 2.36 Vi har alltså linjärt approximerat en funktion som jag inte lyckats hitta derivatan på.
Tips! del/(delx)(z) = z_x, eller mer generellt: del/(delx)(f(z))=d/(dz)(f(z))*(dz)/(dx)

Gradient

f: R^3->R. f(x,y,z) Högerorienterat koordinatsystem. |hat i| = |hat j| = |hat k| = 1 Gradienten för f är: hat i (delf)/(delx) + hat j (delf)/(dely) + hat k (delf)/(delz) = ((delf)/(delx),(delf)/(dely),(delf)/(delz)) = grad f ex. f(x,y,z)=x^2+y+2z; Bestäm gradf(1,1,1) = ((delf)/(delx),(delf)/(dely),(delf)/(delz))_(1,1,1) = (2,1,2) = 2hati + hatj + 2hatk Mha gradienter kan vi skriva funktioner mer kompakt. ex. Temperatur T=T(x,y,z), x=x(t),y=y(t),z=z(t) :. (dT)/(dt)=(delT)/(delx)*(dx)/(dt)+(delT)/(dely)*(dy)/(dt)+(delT)/(delz)*(dz)/(dt) = (x'(t),y'(t),z'(t))*((delT)/(delx),(delT)/(dely),(delT)/(delz)) = vecv*gradT . Anm. * är skalärproduktoperatorn i raden ovan.

Riktningsderivata

Partiell derivata berättar hur mycket f förändras i en viss riktning ( x,y,z osv) Riktningsderivata ger istället svar på vilken riktning som vec PQ får för två godtyckliga punkter P och Q, P,Q in V_f Givet f: R^2->R. Vill bestämma: lim_(|vec"PQ"| ->0) (f(Q)-f(P))/|vec"PQ"| Disclaimer: Linjär algebra incoming!! vec"PQ" = (vec"PQ")/|vec"PQ"|*|vec"PQ"| = hatu*h vec"OQ"=vec"OP"+vec"PQ"=(a,b)+h hatu = (a,b)+h(u_x,u_y)=(a+hu_x,b+hu_y) => f(Q)-f(P)=f(a+hu_x,b+hu_y)-f(a,b) ~= df = f_x(a,b)hu_x+f_y(a,b)hu_y larr linjär approximation då h blir "liten".
Riktningsderivatan av f i punkten (a,b) och i riktningen hatu eller (vec"PQ") är därmed definerad som: (f_x(a,b)hu_x+f_y(a,b)hu_y)/h = u_xf_x(a,b)+u_yf_y(a,b) = (u_x,u_y)*(f_x(a,b),f_y(a,b)) = hatu*gradf(a,b)
Anm. Riktningsderivatan är en skalär, inte en vektor! "Immidiate rate of change" borde det kallas enligt Sverre, iom att riktningsderivatan kan vara negativ (då är arg(hatu) > 90° )
Skrivsätt: f_(hatu)'(a,b) = D_(hatu) f(a,b) = hatu*gradf(a,b) Alt. skrivsätt: (df)/(ds) = f'_(hatu) s: sträcka ;v: fart Förändringstakt per tidsenhet: (df)/(dt)=(df)/(ds)*(ds)/(dt) = v*hatu*gradf = vecv*gradf, där v = (ds)/(dt)
ex: Bestäm riktningsderivatan för f(x,y)=x/y i punkten A=(2,1) och riktning från A mot B = (3,2) Vi tar reda på f_x och f_y : f_x(2,1)=(del/(delx)(x/y))_(2,1) = (1/y)_(2,1) = 1 f_y(2,1)=(del/(dely)(x/y))_(2,1) = (-x/y^2)_(2,1) = -2 vec"AB" = vec"OB" - vec"OA" = (3,2)-(2,1)=(1,1) => hatu = (vec"AB")/|vec"AB"| = (1,1)/sqrt(1^2+1^2) = 1/sqrt(2)(1,1) => f_(hatu)'(2,1) = hatu*gradf(2,1) = hatu(f_x(2,1),f_y(2,1)) = 1/sqrt(2)(1,1)*(1,-2)=-1/sqrt(2) Jmf med (f(B)-f(A))/|vec"AB"| = (f(3,2)-f(2,1))/sqrt(2) = (3/2-2/1)/sqrt(2) = 1/(2sqrt(2)) != f_(hatu)'(2,1) Varför är de olika? Jo, för att f_(hatu)'(2,1) är "medelförändingshastighet", och (f(B)-f(A))/|vec"AB"| är "immidiate rate of change".
Kom ihåg! gradf är en vektor. f_(hatu)'=hatu*gradf = |hatu||gradf|cos(theta)=|gradf|cos(theta) :. (f_(hatu)')_(max) uppstår då hatu och gradf har samma vinkel, dvs theta=0=>cos(theta)=1 (f_(hatu)')_(max) = |gradf|
ex. vec"j"=-k DeltaT, k>0 Alltså: Värmeflödet sker där värmeskillnaden är störst.