Föreläsning, 6 November, Per Sverre Svendsen

Linjärisering av funktion f: R^2 -> R
Tangentplanets ekvation: z = f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) ∂: Partiell derivata
ex. Bestäm tangentplanets ekvation för f(x,y) = ln(x-2y) vid/i punkten p = (3,1,0) Quiz: Ligger p på grafen? Svar: Ja. f(3,1)=ln(3-2*1)=0 Vi behöver följande: f_x(3,1) = ∂/(∂x)(ln(x-2y))_(3,1) = 1/(x-2y)_(3,1) = 1 f_y(3,1) = ∂/(∂y)(ln(x-2y))_(3,1) = -2/(x-2y)_(3,1) = -2 Insatt i tangentplanets ekvation med (a,b) = (3,1) :. z = f(3,1) + f_x(3,1)(x-3) + f_y(3,1)(y-1) = 0 + (x-3) + (-2)(y-1) iff z = x-3-2y+2 iff z-2y-z=1 z = x-3 - 2(y-1) representerar linjäriseringen av funktionen för (x,y) ~= (3,1)
Linjärisering: Vi approximerar funktionen vid z = ax+by+c . Detta kan liknas vid derivatan i en punkt på en kurva: den är rak.
Test: (x,y)=(3.1,0.95) insatt i linjäriseringen: z = 3.1 - 3.0 - 2(0.95-1) = 0.1+0.1=0.2 Jfr med f(3.1,0.95) = ln(3.1-2*0.95) = ln(1.2) ~= 0.182 Om vi nu prövar med (x,y) långt ifrån (3,1) : (6,-1) i linjäriseringen: z = 6-3-2(-1-1) = 7 (6,-1) i f: f(6,-1) = 3 ln(2) ~= 2.1
Linjär approximation: z -f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) , dvs { x-a=Delta x; y-b=Delta y } iff { x = a+Delta x; y = b+Delta y} Jmf med f(a+Delta x, b+Delta y) - f(a,b) = Delta f = f_x(a,b)Delta x + f_y(a,b)Delta y + epsilon_x Delta x + epsilon_y Delta y -> 0 när (Delta x, Delta y) -> (0,0) om f_x(a,b),f_y(a,b) finns och är kontinuerliga. Detta är ett sk. tillräckligt men inte nödvändigt villkor (det är bbb"if" , inte bbb"iff" ). Om felet (epsilon) går mot noll snabbare än den linjära approximationen så är vår approximation bra!
Vi tittar på kedjeregeln för funktioner av flera variabler. ex. f(x) = sin(x^2-2x+3); (df)/(dx) = (df)/(du)*(du)/(dx) = d/(du)sin u = cos u*(2x-2)(2x-2)cos(x^2-2x+3) f: R^2 -> R; f(x,y) där x=x(t), y=y(t) Hur ändrar sig funktionen f med avseende på t ? Alltså f(x(t),y(t)) Vi är intresserade av (df)/(dt) . Deltaf ~= (∂f)/(∂x)Deltax + (∂f)/(∂y)Deltay => (Deltaf)/(Deltat) = (∂f)/(∂x)(Deltax)/(Deltat) + (∂f)/(∂y)(Deltay)/(Deltat) Låt Deltat -> 0: (df)/(dt) = (∂f)/(∂x)(dx)/(dt) + (∂f)/(∂y)(dy)/(dt) ** ex. f(x,y) = x^2-y^2; x(t) = t^2, y(t) = t. f(x(t),y(t)) = (t^2)^2-t^2 = t^4-t^2 => (df)/(dt) = d/(dt)(t^4-t^2) = 4t^3-2t Enligt **: (df)/(dt) = (∂f)/(∂x)(dx)/(dt) + (∂f)/(∂y)(dy)/(dt) = ∂/(∂x)(x^2-y^2)*d/(dt)(t^2)+∂/(∂y)(x^2-y^2)(dy)/(dt) = 2x*2t+(-2y)*1=2t^2*2t-2*t*1 = 4t^3-2t , alltså exakt samma som när vi satte in x(t) och y(t) direkt i formeln. Vad tjänar vi på att använda ** då? Jo, när man vill lista ut parametern t . Givet f(x,y,z) iff (df)/(dt) = (∂f)/(∂x)*x'(t)+(∂f)/(∂y)*y'(t)+(∂f)/(∂z)*z'(t) = ((∂f)/(∂x), (∂f)/(∂y), (∂f)/(∂z))(x'(t),y'(t),z'(t)) . Den sista vektorn representerar hastighet.
f(x,y); x=x(u,v), y=y(u,v) f(x,y) = f(x(u,v), y(u,v)) Vi vill uttrycka (∂f)/(∂u) ( (∂f)/(∂v) ) i (∂f)/(∂x) samt (∂f)/(∂y) (∂f)/(∂u) = (∂f)/(∂x)*(∂x)/(∂u) + (∂f)/(∂y)*(∂y)/(∂u) och (∂f)/(∂v) = (∂f)/(∂x)*(∂x)/(∂v) + (∂f)/(∂y)*(∂y)/(∂v) Alternativ form: (∂f)/(∂x) = (∂f)/(∂u)*(∂u)/(∂x) + (∂f)/(∂v)*(∂v)/(∂x) och (∂f)/(∂y) = (∂f)/(∂u)*(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)*(∂v)/(∂y) ex. Skriv om: 2(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂y) uttryckt i (∂f)/(∂u), (∂f)/(∂v) om (u,v) = (x-2y, x+2y) Hur tar vi reda på om det finns en invers? ((u),(v)) = A((x),(y)) = ((1,-2),(1,2))((x),(y)) Om det(A) != 0 så finns det en invers! (∂f)/(∂x) = (∂f)/(∂u)*(∂u)/(∂x)+(∂f)/(∂v)*(∂v)/(∂x) = (∂f)/(∂u)*1 + (∂f)/(∂v) = (∂f)/(∂u)+(∂f)/(∂v) (∂f)/(∂y) = (∂f)/(∂u)*(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)*(∂v)/(∂y) = (∂f)/(∂u)*(-2)+(∂f)/(∂v)*2 Insatt i originalekvationen: 2((∂f)/(∂u)+(∂f)/(∂v)) + (-2((∂f)/(∂u))+2(∂f)/(∂v)) = 4(∂f)/(∂v) Om vi nu istället är intresserade av allmänna lösningar av partiella differentialekvationer: 2(∂f)/(∂x)+(∂f)/(∂y) = 0 iff 4(∂f)/(∂u) = iff f = h(u) = h(x-2y), h godtycklig funktion av u .