Föreläsning, 19 december, Sverre
Dubbelintegral
ex. (Stewart 15.9,23)
int_D int (x-2y)/(3x-y) dxdy; D={(x,y)inbbb"R"^2|0<=x-2y<=4, 1<=3x-y<=8}
{(u=x-2y),(v=3x-y):}; D_(uv): 0<=u<=4, 1<=v<=8 larr
rektangel i uv-planet
Behöver
(del(x,y))/(del(u,v)) = |[[(delx)/(delu),(delx)/(delv)],[(dely)/(delu),(dely)/(delv)]]| **
{(u-2v = (x-2y)-2(3x-y)=x-2y-6x+2y=-5x),(v-3u = (3x-y)-3(x-2y)=-y+6y=5y):}iff {(x=-1/5+2/5v),(y=-3/5u+1/5v):}
:. ** |[[-1/5,2/5],[-3/5,1/5]]| = (-1/5)*1/5-2/5*(-3/5) = 1/5
Alternativt:
(del(x,y))/(del(u,v)) = ((del(u,v))/(del(x,y)))^-1
(del(u,v))/(del(x,y)) = |[[1,-2],[3,-1]]| = 1*-1 - (-2)*3 = 5
=> ((del(u,v))/(del(x,y)))^-1 = 5^-1 = 1/5
Integralen blir följande:
int_(D_(uv)) int u/v |(del(x,y))/(del(u,v))| dudv = int_1^8 int_0^4 u/v |1/5| dudv = 1/5 int_0^4 udu int_1^8 1/v dv = 1/5 [1/2u^2]_0^4 [lnv]_1^8
= 1/5*1/2*4^2*(ln8-ln1)=8/5 obrace(ln8)^(ln(2^3)=3ln2)=24/5ln2
ex. Bestäm arean av en region
D
i första kvadrant begränsad av kurvorna
y=x,y=2x,xy=1
och
xy=2
A_D int_D int dxdy; {(x<=y<=2x ^ 1<=xy<=2),(iff 1<=y/x<=2 ^ 1<=xy<=2):}
Sätter
{(u=y/x),(v=xy):} => {(uv=y/x*xy => y^2=uv => y=sqrt(uv)),(v/u=(xy)/(y/x)=>x^2=v/u=>x=sqrt(v/u)):}
:. (del(u,v))/(del(x,y)) = |[[(delu)/(delx),(delu)/(dely)],[(delv)/(delx),(delv)/(dely)]]| = |[[-y/x^2,1/x],[y,x]]| = (-y/x^2)x-y/x=-2y/x=-2u
=>(del(x,y))/(del(u,v)) = 1/(-2u)
int_1^2 int_1^2 |1/-2u|dudv = 1/2 int_1^2 dv int_1^2 1/u du = 1/2[v]_1^2 [lnu]_1^2 = 1/2*(ln2-ln1)=ln2/2 ~= .7/2 = .35
Disclaimer: Om det kommer icke-linjära variabelbyten på tentan så kommer man att få en liten ledning för att hjälpa.
ex.
int_Kintint 1/(x^2+y^2+z^2+1) dxdydz; K={(x,y,z)inbbb"R"^3|1<=x^2+y^2+z^2<=3}
Omvandlar till Sverriska koordinater:
int_0^(2pi) int_0^pi int_1^sqrt3 1/(rho^2+1)rho^2d rho sinphidphi d theta = 2pi*2*int_1^sqrt3 (rho^2)/(rho^2+1) drho = 4pi int_1^sqrt3 (rho^2+1-1)/(rho^2+1) drho
= 4pi(int_1^sqrt3 drho - int_1^sqrt3 1/(rho^2+1) drho) = 4pi([rho]_1^sqrt3 - [arctan rho]_1^sqrt3)
= 4pi(sqrt3-1-(pi/3-pi/4)) = 4pi(sqrt3-1-pi/12) ~= pi*4(1.7-1-0.25) ~= 1.9pi
barf_u = (f_(min) + f_(max))/2 = (1/(3+1)+1/(1+1))/2=3/8; V_K = 4/3pi(sqrt3^3-1^3) = 4/3pi(3sqrt3-1)
Uppskattning av integralen:
barf_u*V_K=3/8*4/3pi(3sqrt3-1)=pi/2(3sqrt3-1)~=pi*1/2*(3*1.7-1)~=2.1pi larr
ungefär samma som våran "huvudräkning" ovan
ex. Bestäm ytan respektive volymen ovanför xy-planet som skärs från sfären/klotet med radius
R=2
(centrum i
O
) av cylindern
x^2+y^2=1
:. K={(x,y,z)inbbb"R"^3|x^2+y^2+z^2<=4, x^2+y^2<=1, z>=0}; K_(xy): x^2+y^2<=1
S={(x,y,z)inbbb"R"^3|x^2+y^2+z^2=4, x^2+y^2<=1, z>0}
Volym:
V_K =int_Kintint dxdydz = int_(K_(xy)) int (int_0^sqrt(4-x^2+y^2) dz )= int_(K_(xy))int sqrt(4-x^2+y^2)dxdy
= int_0^(2pi) int_0^1 sqrt(4-r^2)rdr d theta = 2pi int_0^1 sqrt(4-r^2)rdr = [u=4-r^2 => du=-2rdr => rdr=-1/2du]
= 2pi int_4^3 -1/2 sqrt(u) du = 2pi int_3^4 sqrtu du = pi[1/(1/2+1)u^(3/2)]_3^4=(2pi)/3(4^(3/2)-3^(3/2))=2pi(8/3-sqrt3)~=1.88pi
Max/min-värden:
pi*1^2*sqrt3~=1.73pi <= V_K <= 2pi
, alltså så räknade vi rätt.
Yta:
z=sqrt(4-x^2+y^2); A_S = int_S int dS = int_(S_(xy)) int sqrt(1+z_x^2+z_y^2)dxdy = ...
Alt.
A_S = int_0^2pi int_0^(phi_(max)=pi/2) R^2 sinphidphi d theta = ... = 4pi(2-sqrt3) ~= 1.08pi
Sätter
Disclaimer: Om det kommer icke-linjära variabelbyten på tentan så kommer man att få en liten ledning för att hjälpa.
Omvandlar till Sverriska koordinater:
Uppskattning av integralen: ungefär samma som våran "huvudräkning" ovan