Föreläsning, 14 december, Perre

Ytintegral (forts.)

ex. int_S int f(x,y,z) dS där S = {(x,y,z)in bbb"R"^3 | z=sqrt(x^2+y^2), 1<=z<=2} f(x,y,z) = (x^2+y^2)z Alternativt S: vecr = (x,y,z)=(x,y,obrace(sqrt(x^2+y^2))^(z)), 1<=z<=2 iff 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2 iff 1<=r<=2
S är alltså en del av en kon.
S_(xy) är cirkelskivan.
Om z=g(x,y)=sqrt(x^2+y^2) => g_x=x/(sqrt(x^2+y^2)); g_y=y/(sqrt(x^2+y^2)) => z = sqrt(1+g_x^2+g_y^2)=sqrt(2) int_(S_(xy))int f(x,y,g(x,y))sqrt(1+g_x^2+g_y^2)dxdy = int_(S_(xy)) int (x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2) sqrt(2) dxdy = sqrt(2) int_(S_(xy))int (x^2+y^2)^3/2 dxdy = sqrt(2) int_0^(2pi) int_1^2 r^3*r dr d theta = sqrt2*2pi int_1^2 r^4 dr = 2sqrt2 pi [1/5r^5]_1^2 = 2sqrt2pi 1/5(2^5-1^5)=(62sqrt2pi)/5 Jämför med medelvärdet för f(x,y,z) på S . A_S = int_S int dS = int_(S_(xy)) int sqrt(1+g_x^2+g_y^2) dxdy = sqrt2 int_(S_(xy)) int dxdy = sqrt2(pi*2^2-pi*1^2) = 3sqrt2pi barf = (int_S int f dS)/(int_S int dS) = 1/A_S int_S int f dS = ((62sqrt2pi)/5)/(3sqrt2pi) = 62/15 ~= 4.13 Det är rimligt om man jämför med volymen av en kon.
ex. Bestäm arean av den del av cylindern S: x^2+y^2=1 som ligger innanför cylindern y^2+z^2=1 Innanför cylindern y^2+z^2=1 är samma sak som y^2+z^2<=1 S parametriseras enligt: S: vecr(u,v) = (cosu,sinu,v); -pi<=u<=pi; vinbbb"R" A=int_S int dS = int_(S_(uv))int |(delvecr)/(delu) xx (delvecr)/(delv)| dudv; (delvecr)/(delu) xx (delvecr)/(delv) = del/(delu)(cosu,sinu,v) xx del/(delv)(cosu,sinu,v)=(-sinu,cosu,0) xx (0,0,1) = |[[+,-,+],[hati,hatj,hatk],[-sinu,cosu,0],[0,0,1]]| = (cosu,sinu,0) Begränsning: y^2+z^2<=1 iff sin^2u+v^2 <= 1 iff v^2<=1-sin^2u iff v^2<=cos^2u :. v ligger mellan -1 och 1. -|cosu|<=v<=|cosu| Vi får A=int_(-pi)^pi (int_(-|cosu|)^|cosu| dv) du = int_(-pi)^pi [v]_(-|cosu|)^|cosu| du = int_(-pi)^pi 2|cosu|du = 2*2int_0^pi |cosu| du Här kan vi förenkla. Iom att |cosu| blir samma sak mellan 0->pi/2 och pi/2->pi så kan vi dubbla integralen och halvera rangen. = 4*2 int_0^(pi/2) cosu du = 8[sinu]_0^(pi/2)=8(sin(pi/2)-sin0) = 8
ex. int_S intint 1/(1+sqrt(x^2+y^2))dxdydz; K={(x,y,z)inbbb"R"^3|x^2+y^2 <= z <= 2-sqrt(x^2+y^2)} Rymdpolära koordinater är nog ingen hit här, iom att vi inte har ett tydligt klot. z -integralen är lätt. Vi sätter bara in gränserna och kör på och får kvar xy -integralen.
x^2+y^2<=2-sqrt(x^2+y^2) => r^2 <= 2-r iff r^2+r<=0 iff r^2+r+(1/2)^2-(1/2)^2<=2 iff (r+1/2)^2 <=2+1/4=(3/2)^2 iff -3/2<=r+1/2<=3/2 iff -2<=r<=1 => 0<=r<=1 larr eftersom vi kan inte ha en negativ radie. int_(K_(xy))int 1/(1+sqrt(x^2+y^2))(int_(x^2+y^2)^(2-sqrt(x^2+y^2))dz)dxdy = int_(K_(xy))int 1/(1+sqrt(x^2+y^2))(2-sqrt(x^2+y^2)-(x^2+y^2))dxdy = int_0^(2pi) int_0^1 (2-r-r^2)/(r+1) rdr d theta = 2pi int_0^1 (-r^3-r^2+2r)/(r+1)dr Här får vi köra polynomdivision på valfritt sätt, Sverre föredrar liggande stolen. Vi får (-r^3-r^2+2r)/(r+1)=-r^2+2-2/(r+1) :. 2pi int_0^1 (-r^2+2-2/(r+1)dr) = 2pi[-1/3r^3+2r-2ln(r+1)]_0^1 2pi(-1/3+2-2ln2)=2pi(5/3-2ln2) Uppskattning av V_K. 2*1/3piR^2H=2/3pi barf_u ~= (f_(min)+f_(max))/2 = (1/2+1)/2 = 3/4 => V_K*barf_u=2/cancel(3)pi*cancel(3)/4=pi/2=0.5pi
ex. Bestäm vecr_(cm) för det homogena området D={(x,y)inbbb"R"^2|0<=y<=e^x, 0<=x<=1} (en tunn skiva) A_D=int_D int dxdy = int_0^1(int_0^(e^x)dy)dx = int_0^1 [y]_0^(e^x)=int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1-e^0=e-1 vecr_(cm)=(barx,bary); barx = 1/A_D int_D int x dxdy; int_D int x dxdy = int_0^1 x (int_0^(e^x)dy)dx =int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1-int_0^1 e^x dx = e^1-[e^x]_0^1 = e-(e-1) = 1 bary = 1/A_D int_D int y dxdy; int_D int y dxdy = int_0^1 (int_0^(e^x)ydy)dx = int_0^1 [1/2y^2]_0^(e^x)dx = 1/2int_0^1 (e^x)^2 dx = 1/2 int_0^1 e^(color(red)(2x)) dx Obs! int (e^x)^2 dx = e^(2x). Inte e^(x^2) (Sverre anser att detta är av tillräckligt stor vikt för att ta upp det) = 1/4(e^2-1) => bary = (1/4(e^2-1))/(e-1) = (e+1)/4 :. vecr_(cm) = (barx,bary) = (1/(e-1),(e+1)/4) ~= (1/1.7, 3.7/4) Glosor man ska "bara kunna": e~=2.7, pi~=3.14, ln2~=0.7