Föreläsning, 12 december, Sverreboij

Ytintegral (forts)

ex. Bestäm arean av ytan S={(x,y,z)in bbb"R"^3 | x^2+y^2+z^2=4, z>=1} x^2+y^2+z^2=4 iff x^2+y^2=4-z^2;z=sqrt(4-x^2-y^2) => x^2+y^2=3=sqrt(3)^2 z_x = del/(delx)(4-x^2+y^2)^(1/2) = (-2x)/(2sqrt(4-x^2-y^2)) = -x/sqrt(4-x^2-y^2) Arean A_S = int_S int dS = int_(S_(xy))int sqrt(1+z_x^2+z_y^2)dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(1+((-x)/(sqrt(4-x^2-y^2)))^2 + ((-y)/(sqrt(4-x^2-y^2)))^2) dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(1+(x^2)/(4-x^2-y^2)+y^2/(4-x^2-y^2))dxdy = int_(S_(xy))int sqrt((4-x^2-y^2+x^2+y^2)/(4-x^2-y^2))dxdy = 2 int_(S_(xy))int 1/sqrt(4-x^2-y^2)dxdy Ett mattematiskt öga ser tydligt att här kan polära koordinater nyttjas. 2 int_0^(2pi) int_0^sqrt(3) 1/sqt(4-r^2) rdrd theta = 2*2pi int_0^sqrt(3) 1/sqrt(4-r^2) rdr = [u=4-r^2=>du=-2rdr iff rdr=-1/2du; r=0=>u=4;r=sqrt(3)=>u=1] = 4pi int_4^1 u^(-1/2) (-1/2)du = 2pi int_1^4 u^(-1/2)du = 2pi[1/(-1/2+1)u^(-1/2+1)]_1^4 = 4pi[u^(1/2)]_1^4 = 4pi(sqrt(3)-sqrt(1)) = 4pi Är det rimligt? Arean av halvsfären: A=1/24piR^2, R=2 iff A=8pi Conclusion: Ja, det är rimligt. Alternativ lösning: Parametriserar sfär med radius rho=R => vecr = Rsinphicostheta,Rsinphisintheta,Rcostheta :. int_S int dS = int_S_(phi theta) obrace(|(delvecr)/(delphi) xx (delvecr)/(deltheta)|)^(R^2sinphi) dphi d theta; dS iff R^2sinphi dphi d theta Är det ett oväntat resultat? Jmf dV=dxdydz iff rho^2 sinphi dphi d theta*drho Vad är phi_(max)? Vi vet att cos(phi_(max))=1/2 (katet/hypotenusa) => phi_(max)=pi/3 int_(S_(phi theta)) obrace(4)^(R^2) sinphi dphi d theta = 4int_0^(2pi) int_0^(pi/3) sinphi dphi d theta = 4*2pi int_0^(pi/3) sinphi dphi = 8pi [-cosphi]_0^(pi/3) = 8pi(-cos(pi/3)-(-cos0)) = 4pi Alltså följande värden i phi theta -planet

Integral av funktion på yta.

Vill beräkna: int_S int f(x,y,z) dS; (x,y,z)inS Antag att S har en parameterbeskrivning, dvs S: vecr=vecr(u,v) där (u,v)inS_(uv)
Godtycklig grafyta S
Parametriserad på UV-planet
:. int_(S_(uv))int f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|(delvecr)/(delu) xx (delvecr)/(delv)|dudv Specialfall: S är en grafyta, dvs z=g(x,y) och vecr = (x,y,g(x,y)) => int_S int f(x,y,z) dS = int_(S_(xy))int f(x,y,g(x,y))sqrt(1+g_x^2+g_y^2)dxdy
Viktigt! f: "Vikt"/täthetsfunktion "funktionen vi integrerar över" g: Beskrivningen av ytan.
Vi vill testa de samband vi kommit fram till för att få en känsla av att det är rigoröst. ex. int_S int (x^2+y^2) dS; S:x^2+y^2+z^2=1 larr rho^2=1 iff rho = 1 (konstant radie) Vi parametriserar en sfär mha den givna informationen: S_(phi theta): vecr=(1*sinphicostheta,1*sinphisintheta, 1*cosphi); 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi :. int_0^(2pi) int_0^pi (sin^2phi cos^2theta + sin^2phisin^2theta)*obrace(1^2*sinphi dphi d theta)^(dS) = int_0^(2pi) int_0^pi ubrace(sin^2phi)_(1-cos^2phi)*sinphi dphi = 2pi int_0^pi (1-cos^2phi) sinphi dphi = {(u=cosphi=>du=-sinphi dphi),(phi=0=>u=1; phi=pi=>u=-1):} = 2pi int_-1^1 obrace(1-u^2)^("jämn")(-du) = 2pi*2 int_0^1 (1-u^2)du = 4pi [u-1/3u^3]_0^1 = 4pi(1-1/3) = (8pi)/3 Jfr med int_S int obrace(x^2+y^2+z^2)^(1) dS = int_S int dS = 4pi R^2 = 4pi och int_S int x^2 dS = int_S int y^2 dS = int_S int z^2 dS (symmetri) => intintint (x^2+y^2+z^2)dS = 3 int_S int x^2 dS ^^ int_S int (x^2+y^2) dS = 2/3 int_S int (x^2+y^2+z^2)dS = (8pi)/3 Jfr även med medelvärdet för x^2+y^2 på S. Allmänt: barf = (int_S int f dS)/(int_S int dS) = 1/(A_S) int_S int f dS Här: bar(x^2+y^2) = 1/(A_S) int_S int (x^2+y^2)dS = 1/(4pi)*(8pi)/3=2/3 Kuggfråga! Är sqrt(bar(x^2+y^2)) lika med bar(sqrt(x^2+y^2))? Svar: Nej! Men det är dock inte så stor skillnad mellan dem.
ex. Bestäm int_S int z^2 dS; S = {(x,y,z)inbbb"R"^3 | x+y+z=1, z>=0,y>=0,x>=0} Bestäm även bar(z^2) på ytan.
Täthetsfunktion: f(x,y,z)=z^2; Ytan (grafen): z=g(x,y)=1-x-y f på ytan: f(x,y,1-x-y)=(1-x-y)^2 = int_(S_(xy))int (1-x-y)^2 sqrt(1+g_x^2+g_y^2) dxdy = int_(S_(xy)) int (x+y-1)^2 sqrt(1+(-1)^2+(-1)^2) dxdy = sqrt(3) int_(S_(xy))int (x+y-1)^2dxdy = sqrt(3) int_0^1 (int_0^(1-x) (y+x-1)^2 dy)dx = sqrt(3) int_0^1 [1/3(y+x-1)^2]_0^(1-x) dx = sqrt(3)/3 int_0^1 ((1-x+x-1)^3 -(x-1)^3)dx = -sqrt(3)/3 int_0^1 (x-1)^3 dx = -sqrt(3)/3[1/4(x-1)^4]_0^1 = -sqrt(3)/12((1-1)^4-(0-1)^4) = sqrt(3)/12 Vad är då bar(z^2)? A_S = int_S int dS = int_(S_(xy))int sqrt(3) dxdy = sqrt(3) int_(S_(xy)) dxdy = sqrt(3)*obrace(1/2*1*1)^("Area av "S_(xy)) = sqrt(3)/2 => bar(z^2) = (int_S int z^2 dS)/(int_S int dS) = (sqrt(3)/12)/(sqrt(3)/2) = 1/6