Föreläsning, 6 December, Sverre

Trippelintegral (forts.)

ex. int_Kintint z/(sqrt(x^2+y^2+z^2)+1)dxdydz; K = {(x,y,z)in bbb"R"^3 | x^2+y^2+z^2<=1, z>=sqrt(x^2+y^2)} K är ett "enhetsklot".
sqrt(x^2+y^2)<=z<=sqrt(1-x^2-y^2): int_(K_(xy))int(int_sqrt(x^2+y^2)^sqrt(1-x^2-y^2) z/(sqrt(x^2+y^2+z^2)+1)) dxdy Svårt och jobbigt! Vi använder sfäriska koordinater istället. x^2+y^2+z^2<=1 iff rho <= 1; z>=sqrt(x^2+y^2) iff rhocosphi >= ubrace(sqrt((rhosinphicostheta)^2+(rhosinphisintheta)^2))_("trigettan") = sqrt(rho^2sin^2phi) = ubrace(|rhosinhpi|)_(rho>=0, sinphi>=0 "(i detta ex.)") = rhosinphi iff rhocosphi >= cosphi iff sinphi <= cosphi iff 0<=phi<=pi/4 :. int_0^(2pi)int_0^(pi/4)int_0^1 obrace(rhocosphi)^(z)/(rho+1) obrace(rho^2 drho sinphi dphi d theta)^(dV) = int_0^(2pi) d theta int_0^(pi/4) cosphisinphidphi int_0^1 (rho^3)/(rho+1) drho; int_0^(pi/4)cosphisinphidphi = [cosphi=u=>du=-sinphidphi] = int_1^(1/sqrt(2))u(-du) = int_(1/sqrt(2))^1 u du = [1/2u^2]_(1/sqrt(2))^1 = 1/4 Polynomdivision på rho^3/(rho+1) ger rho^2-rho+1-1/(rho+1) :. int_0^1 rho^3/(rho+1) drho = int_0^1 (rho^2-rho+1-1/(rho+1)) drho = [1/3rho^3-1/2rho^2+rho-ln(rho+1)]_0^1 = 5/6-ln2 => int_Kintint z/(sqrt(x^2+y^2+z^2)+1)dxdydz = 2pi*1/4(5/6-ln2) = pi/2(5/6-ln2) M_K = int_Kintint ubrace(1/(sqrt(x^2+y^2+z^2)+1))_("Tolkar som volymdensitet") obrace(dxdydz)^(dV) 1/M_K int_Kintint z*1/(sqrt(x^2+y^2+z^2)+1)dxdydz=barz; vecr_(cm)=(0,0,barz)~=(0,0,0.62) larr barz: masscentrum.

Ytintegral

Vill bestämma: 1) Arean av ytan. Skrivsätt: A_S=int_S int dS 2) Integral över ytan. Skrivsätt: int_S int f(x,y,z) dS (x,y,z)inS; [f]=(µC)/(cm^2) larr µ-colomb per cm^2

Incoming linjär algebra

Parametriserar planet: (x,y,z)=vec(OP_0)+svecu+tvecv tex: (x,y,z)=(1,1,-2)+t(0,1,2)+s(3,2,1) iff (x,y,z)=(1+3t,1+s+2t,-2+2s+t) iff vecr=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) = vecr(s,t) Parametrisering av halv-sfär: rho=3, dvs x^2+y^2+z^2=3^2: (x,y,z)=(3sinphicostheta, 3sinphisintheta, 3cosphi) = vecr(phi,theta); 0<=phi<=pi/2, 0<=theta<=2pi Allmänt: Ytan S i bbb"R"^3 kan parametriseras: S: vecr=vecr(u,v); (u,v)inS_(uv) "Det visar sig att" (Sverre vill inte visa det tidskrävande beviset) A_S = int_S int dS = int_(S_(uv))int |(delvecr)/(delu) xx (delvecr)/(delv)|dudv (delvecr)/(delu)=del/(delu)*(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = ((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu)) Speciellt: vecr = (x,y,f(x,y)), S är grafen till f(x,y): (delvecr)/(delx)xx(delvecr)/(dely) = del/(delx)(x,y,f(x,y))xx(del)/(dely)(x,y,f(x,y)) =(1,0,f_x)xx(0,1,f_y) = |[[hati,hatj,hatk],[1,0,f_x],[0,1,f_z]]| = (-f_x,-f_y,1) => |(delvecr)/(delx)xx(delvecr)/(dely)| = |(-f_x,-f_y,1)| = sqrt((-f_x)^2+(-f_y)^2+1^2) = sqrt(1+f_x^2+f_y^2) => A_S int_S int dS = int_(S_(xy))int sqrt(1+f_x^2+f_y^2) ubrace(dxdy)_(dS_(xy)) Sverre påpekar att den här formeln påminner något om båglängdsformeln i envariabelanalysen.
ex. S: z=sqrt(x^2+y^2); x^2+y^2<=1 Bestäm A_S=int_S int dS A_S=int_(S_(xy))int sqrt(1+((delz)/(delx))^2 + ((delz)/(dely))^2) dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(1+((2x)/(2sqrt(x^2+y^2)))^2 + ((2y)/(2sqrt(x^2+y^2)))^2) dxdy = int_(S_(xy))intsqrt(1+(x^2)/(x^2+y^2)+(y^2)/(x^2+y^2)) dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(2) dxdy = sqrt(2) int_(S_xy)int dxdy = sqrt(2)pi Lateralytan ("väggen") för en kon: A=piRS=piRsqrt(R^2+H^2) Här: R=H=1 => A=sqrt(2)pi
ex. Bestäm area för S: z=1-x^2-y^2; z>=0 => 1-x^2-y^2>=0 iff x^2+y^2<=1 A_S int_S int dS = int_(S_(xy))int sqrt(1+((delz)/(delx))^2+((delz)/(dely))^2) dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(1+(-2x)^2+(-2y)^2)dxdy = int_(S_(xy))int sqrt(1+4x^2+4y^2)dxdy = int_0^(2pi)int_0^1 sqrt(1+4r^2) rdrd theta = 2pi int_0^1 sqrt(4r^2+1)rdr Variabelbyte: [u=4r^2+1=>du=8r dr iff rdr = 1/8du; r=0 iff u=1; r=1 iff u=5] 2piint_1^5 sqrt(u) 1/8 du = pi/4 int_1^5 u^1/2 du = pi/4[1/(1/2+1)u^(3/2)]_1^5=pi/4*2/3(5^(3/2)-1^(3/2))=pi/6(5sqrt(5).1) ~= 1.7pi