Föreläsning, 4 December, Per Sverre Svendsen

Trippelintegral (forts.)

Givet f(x,y,z) def. på K (K sube bbb"R"^3) Antag: f_(min) <= f(x,y,z) <= f_(max) int_K intint f_(min) dV <= int_K int int f(x,y,z) dV <= int_K intint f_(max) dV iff f_(min)*V_K <= int_Kintint f dV <= f_max*V_K iff f_(min) <= (int_Kintint f dV)/V_K <= f_(max)
Medelvärde av en funktion av tre variabler => 1/V_K int_Kintint f(x,y,z) dV = barf
Även: f(x,y,z)->P(x,y,z) larr Tolkning på detta: [p]=kg m^-3; p: volymdensitet. Definierar vecr_(cm)=(barx,bary,barz) där barx=1/M_K intintint x*p(x,y,z) dV och M_K = intintint p(x,y,z) dV (totala massan för volymen K)
ex. Givet f(x,y,z)=1/(x^2+y^2+1); K: sqrt(x^2+y^2) <= z <= 1 Bestäm barf på K .
Sverre uppmärksammar att f egentligen rent formellt är en funktion av 2 oberoende variabler, men detta är fullt ok iom att i envariabelanalysen så var f(x) = 1.5 helt ok (en rät linje)
barf=1/V_K int_Kintint f(x,y,z) dxdydz; int_Kintint f(x,y,z) dxdydz = int_(K_(xy)) int 1/(x^2+y^2+1)(int_(sqrt(x^2+y^2))^1 dz) dxdy = int_(K_(xy))int 1/(x^2+y^2+1) [z]_sqrt(x^2+y^2)^1 dxdy = int_(K_(xy)) int (1-sqrt(x^2+y^2))/(x^2+y^2+1) dxdy = int_0^(2pi) int_0^1 (1-r)/(r^2+1)rdr d theta = int_0^(2pi) d theta int_0^1 (r-r^2)/(r^2+1)dr = 2pi int_0^1 (r-(r^2+1-1))/(r^2+1) dr = 2pi (int_0^1 r/(r^2+1)dr - int_0^1dr + int_0^1 1/(r^2+1)dr) = 2pi([1/2ln(r^2+1)]_0^1 - [r]_0^1 + [arctanr]_0^1) = 2pi(1/2ln2-1/2ln1 - 1 + arctan1-arctan0) = 2pi(1/2ln2+pi/4-1) = pi(ln2+pi/2-2) Vi behöver V_K = int_0^2pi d theta (int_0^1 (int_r^1 dz) rdr) = ... Tråkigt! Vi vet ju redan att det är en kon. V_K=1/3piR^2H=1/3pi*1^2*1=pi/3 => barf = 1/V_K*pi(ln2+pi/2-2) = 3(ln2+pi/2-2) ~= 0.79 Vi jämför med aritmetiskt medelvärde av f_(max) och f_(min): (f_(max)+f_(min))/2=(1+1/2)/2 = 0.75
ex. Bestäm volymen av en kropp begränsad av cylindrarna med ekvationer x^2+y^2=1 och y^2+z^2=1
For reference: {(x,y)in bbb"R"^2 | x^2+y^2=1}: Cirkel (ändlig) {(x,y)in bbb"R"^3 | x^2+y^2=1}: (Oändlig) cylinder
Det är alltså snittet (nn) av två oändliga cylindrar. K_(xy): x^2+y^2<=1 y^2+z^2=1 iff z=pm sqrt(1-y^2) om |y| <= 1 (vilket vi har uppfyllt från den andra ekvationen) :. V_K=int_Kintint dxdydz = int_(K_(xy)) int (int_(-sqrt(1-y^2))^sqrt(1-y^2)) dxdy = int_(K_(xy))int 2sqrt(1-y^2)dxdy Subtituerar x=pm sqrt(1-y^2) = 2 int_(-1)^1 sqrt(1-y^2) (int_-sqrt(1-y^2)^sqrt(1-y^2) dx) dy = 2 int_-1^1 sqrt(1-y^2)*2sqrt(1-y^2) dy = 4int_-1^1(1-y^2) dy = 2*4 int_0^1 (1-y^2) dy = 8[y-1/3y^3]_0^1 = 8(1-1/3) = 16/3 ~= 5.3

Variabelbyte

int_(K_(xyz)) intint f(x,y,z) dxdydz; x=x(u,v,w) iff u = u(x,y,z) y=y(u,v,w) iff v = v(x,y,z) z=z(u,v,w) iff w = w(x,y,z) intintint f(x(u,v,w)...)|(del(x,y,z))/(del(u,v,w))|dudvdw; (del(x,y,z))/(del(u,v,w)) = |[[(delx)/(delu),(delx)/(delv),(delx)/(delw)],[.,.,.],[.,.,.]]| larr 3x3-determinant. Sfäriska (rymdpolära) koordinater: (x,y,z) = (p sin phi cos theta,p sin phi sin theta,p cos phi); p=sqrt(x^2+y^2+z^2)>=0 Obs! Det finns två konventioner för vad man kallar sina variabler i rymdpolära koordinater. (rho,phi,theta) iff (r,theta,varphi) Sverre kommer att använda den första varianten, Månsson den andra. Sverre tycker att rho (rho) är mer lämpligt än r för radie, så att man visar att det handlar om 3D-radie. :. (del(x,y,z))/(del(rho,phi,theta)) = rho^2sin phi => dxdydz -> rho^2 sin(phi) dp dphi d theta = rho^2 dp sin(phi) d phi d theta Notera: 0<=theta<=2pi; color(red)(0<=phi<=pi)
ex. int_Kintint z dxdydz; K: x^2+y^2+z^2<=1, z>=0 Omvandlar till rymdpolära koordinater: 0<=x^2+y^2+z^2<=1 iff 0<=rho<=1, 0<=phi<=pi/2, 0<=theta<=2pi int_0^(2pi) int_0^(pi/2) int_0^1 obrace(rho cos(phi))^z p^2 sin(phi) dphi d theta = int_theta^(2pi) d theta int_0^(pi/2) obrace(cos(phi))^u sin(phi) d phi int_0^1 rho^3 d rho = {(u=cos(phi)=>du=-sin(phi)d phi),(phi=0=>u=1; phi=pi/2=>u=0):} = pi/2 [1/2u^2]_0^1 = pi/2*1/2=pi/4 barz=? barz=1/V_K int_Kintint z dV = 1/(1/2*4/3cancel(pi)*1^3)*cancel(pi)/4=3/2*1/4=3/8 = 0.375
int_Kintint f(x,y,z) dV; V: x^2+y^2+z^2<=obrace(R^2)^("Givet tal") och f(x,y,z)=g(rho)=g(sqrt(x^2+y^2+z^2)) int_0^(2pi) int_0^pi int_0^R g(rho) rho^2 sin(phi)d phi d theta = ubrace(int_0^(2pi) d theta)_(2pi)*ubrace(int_0^pi sin(phi) d phi)_([-cos phi]_0^pi = 2) int_0^R g(rho) rho^2 d rho = int_0^R g(rho)*obrace(4pi rho^2 d rho)^(dV)
ex. int_K intint 1/(x^2+y^2+z^2+1) dxdydz; K: x^2+y^2+z^2<=1 4pi int_0^1 1/(1+rho^2) rho^2 d rho = 4pi int_0^1 (rho^2+1-1)/(rho^2+1) d rho = 4pi(int_0^1 d rho - int_0^1 1/(rho^2+1) d rho) = 4pi([rho]_0^1 - [arctan rho]_0^1) = 4pi(1-pi/4) = pi(4-pi)