Föreläsning, 30 November, Perre Sverre

Dubbelintegral - Polära koordinater

ex. ** int_D int e^(-x^2/4-y^2/9) dxdy;  D: x^2/4+y^2/9<=1 iff (x/2)^2+(y/3)^2<=1 D är alltså en ellipsskiva med bredd 2 och höjd 3. Vi parametriserar! x/2=rcostheta iff x = 2rcostheta y/3=rcostheta iff y = 3rsintheta => (del(x,y))/(del(r,theta))=|[[(delx)/(delr),(delx)/(deltheta)],[(dely)/(delr),(dely)/(deltheta)]]| = ... = |[[2costheta,-2rsintheta],[3sintheta,3rcostheta]]| = 6r => e^(-x^2/4-y^2/9) = e^(-r^2); r^2<=1 iff 0<=r<=1 => ** = int_0^(2pi) int_0^1 e^(-r^2) 6r dr d theta = 6 int_0^(2pi) d theta int_0^1 e^(-r^2) r dr = 12pi int_0^1 e^(-r^2) rdr = [u=r^2=>du=2rdr =>rdr=1/2du] = 12pi*1/2 int_0^1 e^-u du = 6pi[-e^-u]_0^1=6pi(-e^-1-(-e^0))=6pi(1-e^-1) ~= 6pi(1-1/3)=4pi Uppskattar medelvärdet: barf_u ~= (f_(min)+f_(max))/2=(e^0+e^-1)/2=(1+e^-1)/2~=(1+1/3)/2=2/3 => A_D barf_u ~= 2*3*pi*2/3=4pi

Masscentrum

Givet D med massdensitet sigma(x,y) (med enhet kg*m^-2 ) Total massa på D blir då: M=int_D int sigma(x,y) dxdy Definerar masscentrum på D enligt vecr_(cm) = (barx,bary) där barx=1/M int_D int x sigma(x,y) dxdy; bary=1/M int_D int y sigma(x,y) dxdy; Om sigma = sigma_0 (konstant): M = int_D int sigma_0 dxdy = sigma_0 int_D int dxdy = sigma_0 A_0 , barx=1/(sigma_0*A_0) int_D int x sigma_0 dxdy = 1/A_0 int_D int x dxdy (jfr med barf = 1/A_0 int_Dintf(x,y)dxdy )
ex. Bestäm masscentrum för området D: x^2+y^2<=2x med sigma(x,y)=sqrt(x^2+y^2), dvs vecr_(cm)=(barx,bary)=? x^2+y^2<=2x iff x^2-2x+y^2<=0 (x-1)^2+y^2<=1 => r^2<=2rcostheta iff r <= 2costheta larr (r>=0) => costheta>=0 iff -pi/2<=theta<=pi/2 D är en cirkel med centrum i (1,0). M=int_Dint sigma(x,y)dxdy=int_(-pi/2)^(pi/2) int_0^(2costheta) r*r dr d theta=int_(-pi/2)^(pi/2)[1/3r^3]_0^2costheta d theta = 1/3 int_(-pi/2)^(pi/2) (2costheta)^3 d theta = 8/3 int_(-pi/2)^(pi/2) cos^3theta d theta = 8/3 int_(-pi/2)^(pi/2) (1-sin^2theta)costheta d theta = [u=sintheta => du=costheta d theta; theta=-pi/2=>u=-1,theta=pi/2=>u=1] = ... = 8/3 int_-1^1(1-u^2)du = 2^*8/3int_0^1 (1-u^2)du=16/3[u-1/3u^3]_0^1=16/3(1-1/3)=16/3*2/3=32/9 ~=3.56 Är det rimligt? barsigma_u*A_D ~= pi Yes box! vecr_(cm)=(barx,bary) barx=1/M int_D int xsigma(x,y)dxdy) = 9/32 int_(-pi/2)^(pi/2) int_0^(2costheta) rcostheta*r*r dr d theta =9/32 int_(-pi/2)^(pi/2) r^3 dr = 9/32 int_(-pi/2)^(pi/2) costheta[1/4r^4]_0^(2costheta) d theta = 9/32*1/4*int_(-pi/2)^(pi/2)costheta(2costheta)^4 d theta = 9/32*1/4*2^4*2 int_0^(pi/2) cos^3theta d theta = 9/4 int_0^(pi/2) cos^5theta d theta = 9/4 int_0^(pi/2) cos^2theta cos^2theta costheta d theta = 9/4 int_0^1 (1-u^2)^2 du = 9/4 int_0^1 (1-2u^2+u^4)du = 9/4[u-2/3u^3+1/5u^5]_0^1 = 9/4(1-2/3+1/5) = hardcore aritmetik = 6/5 :. vecr_(cm)=(6/5,0) Det kan vi med gott samvete tro på! Eftersom bary ~ int_(-pi/2)^(pi/2) sintheta cos^4theta d theta = int udda*jämn = int udda = 0

Trippelintegral

f(x,y)>=0 på D: int_D int f(x,y) dxdy Volym (begränsad av xy-planet och grafen) int_K int int f(x,y,z) dxdydz En geometrisk tolkning är omöjligt, men vi kan tänka oss en volym begränsad av en kropp. Om f(x,y,z) konstant iff int_K intint dxdydz=V_K Ett exempel: Givet gasdensiteten för varje punkt i föreläsningssalen g = f(x,y,z) med enhet kg/(cm^3) så ger trippelintegralen massan av alla gaspartiklarna i salen. K behöver inte vara begränsad per se ( K=R^3 är möjligt), men för att den generaliserade integralen ska vara konvergent så måste f dö ut snabbt. Sverre anser att detta är relativt rare, och att begränsad K är vanligare.
Hur tar vi oss an en trippelintegral?
Metod 1: int_Kintint f(x,y,z) dxdydz = int_(K_(xy)) int (int_(z_1(x,y))^(z_2(x,y))dz)dxdy Gör z till oberoende variabel.
Metod 2: int_a^b (int_(K_z) int f(x,y,z)dxdy)dz Integrerar över alla skivor ( K_z ) mellan topp och botten-värde (a,b) i z-led .
ex. int_Kintint zsqrt(x^2+y^2)dxdydz; K: x^2+y^2<=z<=1 Metod 1: z_1(x,y)=x^2+y^2 z_2(x,y) = 1 => K_(xy): x^2+y^2<=1 int_(K_(xy)) int (int_(x^2+y^2)^1 zsqrt(x^2+y^2)dz) dxdy = int_(K_(xy))int sqrt(x^2+y^2)[1/2z^2]_(x^2+y^2)^1 dxdy = 1/2 int_(K_(xy)) sqrt(x^2+y^2)(1-(x^2+y^2)^2)dxdy = 1/2 int_0^(2pi) int_0^1 r (1-r^4) rdrd theta = 1/2*2pi int_0^1 (r^2-r^6)dr = pi[1/3r^3-1/7r^7]_0^1 = pi(1/3-1/7)=(4pi)/21 Metod 2: K_z: x^2+y^2<=z iff r^2<=z iff r <= sqrt(z)