Föreläsning, 30 Oktober, Sverre

Vilka tal "finns"?
bbb"N" Naturliga talen 1,7,1015 bbb"Z" Heltal -3,-513 bbb"Q" Rationella tal 1/2, -7/15 bbb"R" Reella tal pi, sqrt(2), e bbb"C" Komplexa tal 0.1+5.4i
I denna kurs kommer vi att jobba med funktioner av typ bbb"R" -> bbb"R" . D_f -> V_f Definitionsmängd (domain) och Värdemängd (range). Quiz: Förutsatt varje D_f ger endast ett V_f , kan vi entydigt hitta respektive invärde givet utvärdet? Svar: Nej, inte alltid. Endast om funktionen har invers. ex. f(t) = x^2, f:bbb"R"->bbb"R" I det här fallet ger f(3) = f(-3) , alltså ej entydigt bestämbart. ex. f(x) = 1/sqrt(x+3) Vad är största möjliga D_f ? I och med att vi förhåller oss till endast reella tal så är definitionsmängden här: D_f = {x in bbb"R" | x > -3 } Samt: V_f = {y in bbb"R" | y > 0 } = (0,oo)
ex. Bestäm D_g och V_g för g(x) = e^x D_g = (0,oo) = bbb"R"^+ ( bbb"R"^+ © OC Jakob Lindskog)
ex. h(x) = x^2-2x+3 = (x-1)^2+2 D_h = bbb"R" Matematiskt uppenbart från omskrivningen av h(x): V_h = {y in bbb"R" | y >= 2} = [2,oo) ex. y = f(x) = kx+m : y Beroende variabel x (Oberoende) variabel k, m konstanter/parametrar ex. y = f(t) = 1/2 gt^2 g konstant t Oberoende variabel Ideala gaslagen: pV = NkT iff p = Nk * T/V Nk konstant T/V oberoende parametrar :. p=p(T,V)
ex. Temperatur: T = T(x,y,z,t) Fyrvariabelanalys!
Det är sällan som fysiker vill ha mer än 4 variabler, men tex. ekonomer vill ibland ha 15 variabler för att beräkna inköpspriset. Allmänt gäller: y = f(x_1,x_2,...,x_n); (x_1,x_2,...,x_n) oberoende variabler ELLER vektor/punkt! :. (x_1,x_2,...,x_n) = x; y = f(x); Här: x in bbb"R"^n Tillämpning av detta i temperaturlagen: p=p(T,V) p: bbb"R"^2->bbb"R" D_p = {(T,V) in bbb"R"^2 | T >= 0, V > 0 }
ex. f(x, y) = (ln(x-1))/(y^2-4) Har vi några problematiska inputvärden? Ja, y = ±2 samt x = 1 :. D_f = {(x,y) in bbb"R"^2 | x > 1, y != 2, -2 }
Hur ritar vi en graf till en sådan här tvåvariabelfunktion? Högerorienterat system (från linjär algebra) Graf för funktion z = f(x,y) är alla punkter (x,y,z) där (x,y) in D_f och z = f(x,y)
ex. Rita z = f(x,y) = x^2+y^2 Vi omvandlar till polär form: x = r cos(theta) y = r sin(theta) Där r = sqrt(x^2 + y^2), r >= 0, theta = tan^-1(y/x), 0 <= theta < 2pi :. z = x^2+y^2 = (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2(cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 => z = r^2 Grafen blir som en "skål" med väggen r^2
ex. Graf för f(x,y) = sqrt(x^2+y^2) :. z = sqrt((rcostheta)^2+(rsintheta)^2) = sqrt(r^2)sqrt(cos^2theta + sin^2theta) = r => z = r Grafen för z = r är som y = x , dvs en rak linje. När den sedan roterar kring z-axeln så blir det en kon, eller som Sverre uttryckte det "Dante's Inferno".
ex. f(x,y) = sqrt(4-x^2-y^2) => z^2 = 4-x^2-y^2 iff x^2+y^2+z^2=4=2^2 :. bbb"R"^2 Det blir ett halvklot.