Föreläsning 9

Faradays lag, exempel

Givet en rak lång ledare med R=12 Ω, x_0=1cm, x_1=2cm, b=2cm samt en slinga C
lång ledare och slinga
Ström i ledaren över tid:
ström över tid

Vill veta: Ström för inducerad ström i(t) i slingan.

B(x) = (mu_0I)/(2pix) Totalt flöde Phi_B genom slingan: Phi_B = int_("slingan") vecB*hatn dA = int_(x_0)^(x_1) B*hatj*hatj obrace(bdx)^(dA) = int_(x_0)^(x_1) (mu_0Ib)/(2pix) dx

= (mu_0Ib)/(2pi) int_(x_0)^(x_1) 1/x dx = (mu_0Ib)/(2pi)[lnx]_(x_0)^(x_1) = (mu_0Ib)/(2pi)(ln x_1 - ln x_2) = (mu_0Ib)/(2pi) ln2


I(t) = {(kt, 0<=t<=10s),(1.2A,t>=10s):}
k = (1.2A)/(10s)=0.12As^-1
Ger inducerad epsilon: |epsilon|=(dPhi_B)/(dt) = d/(dt)((ln2)/(2pi) mu_0b kt) = (ln2)/(2pi) mu_0 bk     Volt
Ger inducerad ström: i=|epsilon|/R=((ln2)/(2pi))((mu_0bk)/R) = (ln2)/(2pi)(4pi*10^-7*2*10^-2*0.12)/12 = 4 ln2*10^-11 ~= 2.8*10^-11 A


:. i(t)={(2.8*10^-11, 0<=t<=10s),(0,t>=10s):} larr Moturs

Maxwells komplettering till Amperes lag.

Givet en sluten yta (ex mantelytan på en sfär), så får vi total ström ut från ytan:
I=oint_A vecJ*hatn dA, [vecJ]=Am^-2
Vi vill finna ett samband mellan I och Q (total laddning i volymen)
Spoiler: oint_A vecJ*hatn dA = (-dQ)/(dt)


Detta gäller för alla strömmar! Vi tar ett exempel med antalet personer på Maxi.
maxi
Vi har alltså netto "personström" vecJ = 5+4-1=8 utåt.
Antal personer i Maxis byggnad ( P ) samverkar negativt med nettoströmmen vecJ utåt, vilket är uppenbart. Om folk strömmar ut, så minskar antalet personer i maxi.
Alltså oint vecJ*hatn dA = (-dP)/(dt) .


Vi jämför detta med Gauss' lag: oint_A vecE*hatn*dA = Q/epsilon_0 => (dQ)/(dt) = epsilon_0 d/(dt) oint_A vecE*hatn*dA
Om ytan A är stationär: oint_A epsilon_0 (delvecE)/(delt) hatn dA => oint_A (vecJ+epsilon_0*(delvecE)/(dt))*atn*dA

Givet en delad sfär, där A_1+A_2=A , med A_1 och A_2 som slutna ytor.
sfär

Enligt Amperes lag: { (oint_c vecB*dvecl = mu_0 int_(A_1)vecJ*hatn*dA),(oint_c vecB dvecl = mu_0 int_(A_2)vecJ*hatn dA):} mu_0 oint_A vecJ hatn dA = 0 =>
Amperes lag stämmer alltså enbart om (dQ)/(dt)=0!

Kompletteringen: oint_c vecB*dvecl = mu_0 int_A vecJ hatn dA + mu_0 int_A epsilon_0*(delvecE)/(delvect)hatn dA Där vecJ_D=epsilon_0(delvecE)/(delvect) är förskjutningsströmmen.


Antag vecJ=vec0, Q=0:
Faradays lag: oint_c vecE*dvecl=(-dPhi_B)/(dt)
Amperes lag: int_c vecB*dvecl = mu_0 epsilon_0 d/(dt) int_A vecE*hatn dA = mu_0 epsilon_0*(dPhi_E)/(dt)

Alltså: En ändring i magnetiskt flöde ger upphov till ett elektiskt fält, och en ändring i det elektriska flödet ger upphov till ett magnetiskt fält.