Föreläsning 7

Vi ska räkna ut B-fältet som en enkel slinga ger.

Biot-Savants lag:
vecB(vecr) = mu_0/(4pi) int_C (Idvecr' xx (vecr-vecr'))/|vecr-vecr'|^3

Exempel

vecB(vecr) från cirkulär skiva med radie a i xy-planet, fältpunkt vecr=(0,0,z)
Observera att positiv z => strömmen i moturs riktning
Ger källpunkter: vecr'=(x',y',0) = (a cos theta,a sin theta,0) => (dvecr')/(d theta) = (-a sin theta,a cos theta,0)
=> dvecr' = (-a sin theta,a cos theta,0)d theta
Observera att vi deriverar vecr endast med avseende på theta ovan. Vi behöver inte derivera med a , iom att det inte förändras.


:. vecr-vecr' = (0,0,z)-(-a sin theta,a cos theta,0) = (-a cos theta, -a sin theta, z)
=> |vecr-vecr'| = (z^2+a^2)^1/2


Vid vecr=(0,0,z):


dvecr' xx (vecr-vecr') = (-a sin theta, a cos theta, 0) d theta xx (-a cos theta, -a sin theta, z)


= d theta [[hati,hatj,hatk],[-asin theta,acos theta, 0],[-acos theta, -asin theta, z]]


=> vecB(vecr) = mu_0/(4pi) int_0^(2pi) (I(zacos theta,zasin theta, a^2))/((z^2+a^2)^(3/2)) d theta = mu_0/(4pi)I*1/(z^2+a^2)*a^2 hatk int_0^(2pi) d theta = mu_0/(4pi)(2pi)/((z^2+a^2)^(3/2))I*a^2 hatk = mu_0/(4pi)(2pi)/((z^2+a^2)^(3/2))*obrace(pi a^2 I hatk)^(vecmu) , där vecmu är magnetiska dipolmomentet.

Om vi tittar på z >> a så ser vi att fältet skalar enligt ~ 1/|z|^3

Amperes lag

Given sluten slinga med strömriktning och subströmmar I_k.

oint vecB*dvecl = mu_0 sum_k I_k = "(här)" mu_0(I_1+I_2-I_3+I_4)

Antag att vi vet {(vecB "tangetiell riktning"),(B=B(r)):} => oint_c vecB*dvecl=mu_0 I iff int_c Bdl = mu_0I
iff B int_cdl = mu_0*I iff B*2pir = mu_0 I iff
B=(mu_0I)/(2pir)

Om vi har en spole så ges B-fältet av B=mu_0 n I .

Magnetiskt flöde

Givet en sluten yta så gäller oint_A vecB hatn dA = 0

Men, med en icke sluten yta gäller int vecB hatn dA = Phi_B

Om Phi_B (magnetiska flödet/'flux') varierar (i tid), dvs (dPhi_B)/(dt) != 0 Då induceras elektromotisk spänning ,varepsilon, givet av`

varepsilon = (-dPhi_B)/(dt) larr Faradays lag/induktionslagen. [Phi_B/t] = [(BA)/t] = J/C = Volt.
varepsilon = oint_c vecE*dvecl = (-dPhi_B)/(dt)