Föreläsning 4

Hur räknar vi ut elektriska fältet om vi har en potential?

Samband mellan vecE och V :

Vi vet sedan innan att

DeltaV = V_b-V_a=-int_a^b vecE*dvecl

Här: dvecl=hati dx och vecE=hatiE(x)

V_b-V_a=V(x+Deltax)-V(x)=-int_(x'=x)^(x'=x+Deltax)vecEhati*hati dx' = -int_x^(x+Deltax)E(x') dx' = -E(x)Deltax

iff E(x) ~= (-V(x+Deltax)-V)/(Deltax )obrace(=>)^(Deltax->0)

E(x) = (-dV)/(dx)

Här: vecE = (-dV)/(dx)hati
Detta är dock ett specialfall. Hur ser det ut i allmänhet?

V=V(x,y,z) => vecE=(-delV)/(delx)hati - (delV)/(dely)hatj - (delV)/(delz)hatk = -gradV

Där (delV)/(delx), (delV)/(dely), (delV)/(delz) representerar de partiella derivatorna i x, y och z-led.
Det elektriska fältet är alltid 90° relativt potentialytan.

Exempel

Bestäm vecE för potentialen V={(V_0/R^2*(x^2+y^2+z^2), x^2+y^2+z^2<=R^2),(V_0, x^2+y^2+z^2>R^2):}

Om x^2+y^2+z^2<=R^2
vecE = -gradV = -hati del/(delx)((V_0/R^2)(x^2+y^2+z^2)) - hatj (delV)/(dely) -hatk (delV)/(delz)
= (-V_0/R^2*2x,-V_0/R^2*2y, V_0/R^2*2z) = -2V_0/R^2 obrace("("x,y,z")")^(vecr) = (-2V_0)/R^2 vecr

Om x^2+y^2+z^2 > R^2: vecE=-gradV=vec0

Alltså. I det här exemplet har vi visat att ett klot med radie R och potentialer enligt ovan så är fältet vecE riktat inåt om vi befinner oss innan klotet. Utanför klotet är fältet vec0 .

Titta gärna på sidan 794 i kursboken för att se sambandet mellan fältlinjer och potentialkurvorna. Där ser ni att potentialkurvorna alltid ligger 90° relativt fältlinjerna.

Kondensator/kapacitans

Om vi laddar upp ett metallklot med radius R och positiv laddning Q . Varför spelar det ingen roll (laddningsmässigt) om klotet är massivt eller ihåligt? Jo, iom att laddningen alltid försöker sprida ut sig jämt så kommer de att lägga sig längst ytan.
Sverre har lunchat med en snubbe som har forskat i hur långt ifrån skalet som elektronerna lägger sig. (kom ihåg det, kommer på tentan)
r>=R: vecE=Q/(4pi epsilon_0 r^2); r<R: vecE=vec0
Observera att detta är precis samma sak ekvation som med en punktladdning. Om vi alltså täcker över klotet med ett skynke så kan vi inte veta om det är en punktladdning där eller ett klot.

Potential från Q: V=Q/(4pi epsilon_0 r^2), r>=R
Potential på klotet, med avseende på referens V(r->oo)=0; V=Q/(4pi epsilon_0 R) iff Q=4pi epsilon_0 R*V
Alltså så är laddningen proportionell mot spänningen. Dvs C=4pi epsilon_0 R (Kapacitans)

Sverre tycker att det är lite udda att definiera laddning på det här sättet, men man ser att Farad är ganska stor enhet iallafall.
[C]=[Q/V]="Coulomb"/"Volt" = C/V = F (farad).
Observera att om vi snackar om en punktladdning så går R->0 . Detta antyder att V->oo vid punktladdningar, men detta räddas upp genom kvantmekanik som har en annan formel för laddning mellan två elektroner.

Energi som finns lagrat i ett elektriskt fält.
Givet två plattor med laddning -Q och Q och distans d .
Vad är kapacitansen för plattkondensatorn?
E=sigma/epsilon_0 = (Q"/"A)/epsilon_0 (**) , observera att eftersom vi har två plattor så blir E 2ggr större än normalt.

V=V_+-V_- = -int_"(-)"^"(+)" obrace(vecE*dvecl)^(|vecE||dvecl|cospi) = -int_"(-)"^"(+)" |vecE||dvecl|(-1) = Ed , alltså är vecE konstant mellan plattorna. (* *)

`() i ( **): V=Ed iff V=Q/epsilon_0*1/A*d iff Q=epsilon_0*A/d*V`

=> C = epsilon_0 A/d

Alltså är kapacitansen ej beroende av spänningen över plattorna, utan endast av geometrin. [epsilon_0] = "Farad per meter" (permittivitet).

Exempel (med siffror)

epsilon_0 ~= 8.85*10^-12 Fm^-1 ~= 10^-11 Fm^-1
Vi tar ett godtyckligt A = 1cm^2 = (10^-2m)^2 från publiken.
d ska vara väsentligt mindre. d = 1"mm" = 10^-3m blir gött.
=> C=10^-11 Fm^-1*((10^-2m)^2)/(10^-3m) = 10^(-11-4-3)F = 10^-12 F = 1"p"F
Jordens kapacitans: C=4pi epsilon_0 R ~= 700 muF Alltså så är Farader en relativt klumpig enhet.

Uppladdning av en kondensator

Givet en kondensator med laddning +q och -q :
q+ bb"-| " vecE bb" |-" -q
Om vi föser en laddning Deltaq från -q till +q så utför jag ett arbete DeltaW=DeltaqE*d = Deltaq*v
Där 0<=q<=Q ^^ 0<=v<=V Men! Detta är inte hela sanningen. I början (innan uppladdningen) så gäller dW=v(q)dq och i slutet så gäller q=Cv => v=1/C*q
Dvs hela arbetet W=DeltaU larr "potentiell elektrisk energi"
U = int_0^Q v(q)dq = int_0^Q 1/C*q dq = 1/C int_0^Q q dq = 1/C[1/2q^2]_0^Q = 1/(2C)Q^2 = 1/(2C)*(CV)^2 = 1/2 CV^2

Speciell för plattkondensator

U = 1/2 epsilon_0 A/d (E*d)^2 = 1/2 epsilon_0 A/d*E^2*d^2 = 1/2 epsilon_0 E^2* color(red)(Ad) , alltså en så kallad energitäthet.
Sverre påpekar att givet ett rätblock mellan plattorna så finns fältet endast inuti detta. "Volym" = color(red)(Ad)
Alltså: där vi har ett fält har vi också en elektrisk energitäthet.
Vi ska titta på senare i kursen på strålning från solen, speciellt synligt ljus, som ger upphov till en energitäthet och därmed ett elektriskt fält skilt från noll. Alltså så är det inte speciellt för plattkondensatorer.
1/2 epsilon_0 E^2: Elektrisk potentiell energitäthet. [1/2 epsilon_0 E^2] = Jm^-3

En annan slutsats som Sverre kom fram till är att genom att ändra materialet så kan ändra epsilon_0 vilket ändrar kapacitansen vilket påverkar mängden energi vi kan ladda kondensatorn med givet en viss spänning V .