Föreläsning 15

Andra ämnen än väte, first hand experience! Spinn

Väteatomen (forts).

Elektronen har "iboende" (intrinsisk) egenskap: Spinn, vecS (rörelsemängdsmoment, som vecL ). [|vecS|]=Js
Hur tolkar vi spinn?

där vecL=vecr xx vecp

Spinnet är kvantiserat, dvs vecS^2=vecS*vecS=S(S+1)ℏ^2 => |vecS|=sqrt(S(S+1))ℏ; där S=1/2 .
veceS i z-riktning: S_z=m_sℏ; m_s=-s_1,…,s=-1/2,1/2 dvs m_s=+-s
m_s=+1/2: Spinn "upp", uarr, l=5: m_l=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 (-l,…,l)
m_s=-1/2: Spinn "ner", darr, m_s=-1/2,1/2 (-5,…,5)
Uppsättning kvanttal: (n,l,m_l,obrace(m_s)^("spinn"))

Energiuppsplittring för väteatomen: DeltaE_n ~ vecS*vecL larr mätbar!
DeltaE_n | <= 10^-5 eV << E_n | ~ 10eV
Alltså är elektronens spinn relativt liten rent energimässigt, men ändå inte försumbar.

Givet n-värde => l: 0,1,2,…,n-1 => 2*sum_(l=0)^(n-1) (2l+1) = 2n^2 larr antal elektroner i ett givet "skal"
Givet l-värde => m_l: -l,…,l
m_s = +-1/2 larr 2 värden.

Alltså.
n=1 => 2 (K-"skalet")
n=2 => 8 (L)
n=3 => 18 (M)

Paulis uteslutningsprincip: Alla elektroner har en unik uppsättning kvanttal.

Vi kan använda detta för att bygga upp periodiska systemet.

Helium-atomen

E_n=E_1/n^2 (E_1=-13.6eV)
Om vi tar bort en elektron från helium så får vi He^+ . Fortsätter vi med följande ämnen får vi Li^(2+),Be^(3+),…: E_n = (z^2*E_1)/n^2 ( z antalet protoner i kärnan)
:. He^+ grundtillstånd har energi E_1^(He^+) = 2^2(-13.6eV)=-54.4eV
He grundtillstånd har energi E_1^(He) = 2(-54.4eV)=-108.8eV larr Fel! Vi glömde elektron-elektron växelverkan. Korrekta värdet är E_1^(He)=-79eV .
Växelverkan mellan elektronerna ges av U=((-e)*(-e))/(4pi epsilon_0|vecr_1-vecr_2|) > 0 , där vecr_1 och vecr_2 är avstånden till kärnan för respektive elektron. FORTRAN användes förr för att räkna fram numeriska lösningar för Shrödingerekvationen till Helium.

Konfigurationer i grundtillstånd:

Atomnummer Ämne Konfigurationer
1 H 1s
2 He 1s^2 (=s darr, s uarr)
3 Li 1s^2 2s
4 Be 1s^2 2s
16 Ne 1s^2 2s^2 2p^6
18 Ar 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6
19 K 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 color(red)(4s)

Sverre påpekar att color(red)(4s) -termen är förvånande. Det följer inte helt mönstret.

N -elektronsystem ( N>1 ): rho(vecr)=sum_(k=1)^N |psi_k (vecr)|^2; int_"hela rummet" rho(vecr) dV = N

psi_k -funktionerna uppfyller en differentialekvation:
(-ħ^2)/(2m) grad^2 psi_k+V_"effektiv"(vecr) psi_k = e_k psi_k

För att lösa den här differentialekvationen så börjar vi med att gissa, iom att V_"effektiv" beror på rho(vecr) och vågfunktionen beror på V .

Vi tar några startvärden: psi_k^"(0)", (k=1,…,N) => rho^"(0)" insatt i V_"effektiv"(vecr) => psi_k^"(1)"
Rinse and repeat.