Föreläsning 14

SE-ekvationen i en dimension - exakta lösningar

U(x) ~ x^2
E=K+U

Det enda tredimensionella system som vi kan lösa: Väteatomen!

Atomfysikern: Atomens dimension/storlek är medelavstånd mellan proton och elektron ( 10^-10m )
Energi: E=K+U (kinetisk och potentiell energi) för elektronen U: Elektrostatisk energi, enbart.

Kärnfysikern: Atomens dimension/storlek är storleken på kärnan. ( 10^-14m )
Energi: Energin som behövs för att?

När vi analyserar väteatomen så kan vi se det som att kärnan är i origo, och elektronen åker runt kärnan i tre dimensioner. Vi kan alltså se det som två punktladdningar.


e^+ : Stationär punktladdning.
e^- : Rörlig punktladdning.

Det är en attraktiv kraft på elektronen från protonen.
En laddning som rör sig skapar ett magnetfält
Det skapar ett elektriskt fält
Det skapar en poynting-vektor
Det strålar ut elektromagnetisk strålning

Vilket borde bromsa elektronen! Skumt att den fortsätter snurra runt. Men kom ihåg att det finns vissa specifika energinivåer, vilket förhindrar detta.

Något som är lite ironiskt är att Coloumbs lag fortfarande gäller på atomär nivå.
Potential från kärnan: V=e/(4pi epsilon_0 r) , observera att V->oo då r->0 . [V]= Volt.
Elektronens potentiella energi: (-e)*V bbb"=" U(r) = (-e^2)/(4pi epsilon_0 r)

(-ħ^2)/(2m) grad^2 Psi(vecr,t)+U(r)Psi(vecr,t)=EPsi(vecr,t) har lösningar på formen:
Psi(vecr,t)=psi(vecr)e^(-i(E/h)t); psi(vecr) = R(r) y(theta, phi) , där R(r) är en full differentialekvation som har lösningar för godtydliga E och y(theta, phi) är en klotytefunktion.
Bara för att trolla oss som har gått flervariabelanalys så har vi andra notationer på vinklarna för sväriska koordinater.

Normeringsvillkor: int_"hela rummet" |Psi(vecr, t)|^2 dV = int |psi(vecr)|^2 dV = 1 larr en elektron!
int_0^oo (R(r))^2 r^2 dr int_"alla riktningar" |y(theta,phi)|^2 sin theta d theta d phi
Normeringsvillkoret betyder att någonstans i hela rummet finns elektronen med 100% sannolikhet.

Normeringsvillkoret "tvingar fram" diskreta energivåer för elektronen.

E = E_n = E_1/n^2 larr där E_1 = -13.6eV och n=1,2,3…

Vi kallar E_1 för grundtillståndsenergi.

Om vi har en väteatom som har grundtillståndsenergi och skickar in en foton med energin 1/2 E_1 så kommer den inte att exciteras. Detta är väl bevisat genom experiment, och inte bara visat på genom teorier.

Exempel

Bestäm våglängd för ljus/foton motsvarande E_2-E_1: hf = E_2-E_1 iff (hc)/lambda = E_1/2^2-E_1/1^2
= -3/4E_1 iff lambda = (hc)/(-3/4E_1) = -(4hc)/(3E_1) ~= 1.2*10^-7m

Rörelsemängdmoment

Det som gör att cykeln är lättare att styra i högre hastighet.

m vecv = vecp
vecL=vecr xx vecp
|vecL|=|vecr xx vecp|; [L]=[rp]=[rmv]=m*kgms^-1=kgms^-2*m*s = Js = [ħ]

vecL^2 = vecL*vecL = l(l+1)ħ^2; |vecL|=sqrt(l(l+1))ħ, där l=0,1,2,3,…n-1 . Om n=3: l=0,1,2
och!
L_z=m_l ħ; m_l = -l_1-l+1,…,0,1,…,l larr dvs 2l+1 värden för varje l -värde.
Dessa labels är användbara
Varje elektron beskrivs av någon uppsättning kvanttal (n,l,m_l) .
Givet n: sum_(l=0)^(n-1) (2l+1) = "Antal elektroner vi kan peta in i ett skal" = n^2

Grundtillståndsfunktionen:

n=1; l=0,1,…,n-1 = 0
psi_(ls) (vecr) = psi_(ls)(r)=1/(pi a^3)^(1/2) e^(-r/a); a~=0.52*10^-10m larr Bohr-radien.
Normeringsvillkoret: int_0^oo (psi_(ls)(r))^2*obrace(4pi r^2 dr)^(dV) = int_0^oo 1/(pi a^3)*e^((-2r)/a)*4pi r^2 dr = 4/a^3 int_0^oo r^2 e^((-2r)/a) dr = 1
Vi tittar på uttrycket inom integralen. Det mest förväntade stället att hitta elektronen på är bar r=int_0^oo r(psi_(ls)(r))^2*4pir^2 dr = 3/2a