Föreläsning 12

Igår: Ljus som partiklar
Idag: Partiklar som vågor (!)

Vi kommer inte att gå igenom Bohr's atommodell, av det enkla skälet att det inte hjälper särskilt mycket.

För ljus/foton gäller p=h/lambda iff lambda=h/p . Louis de Broglie (1924): En materiell partikel rörelsemängd p har en våglängd lambda=h/p . Detta gäller även om v << c , dvs p=mv ger lambda=h/(mv) .

Exempel. Vi tar ett makroskopiskt föremål (exempelvis ett Sverriskt klot) med massa m=100kg och hastighet v=1m/s .
lambda=h/(mv) ~= (6.6*10^-34 Js)/(100kg*1ms^-1) = 6.6*10^-36 cancel(kg)m cancel(s^-2)*cancel(s)*m^-1*cancel(s)*cancel((kg)^-1)=10^-35 m

Sverre anser att detta är pyttelitet. 10^-10 m är radien på en atom typ.

Jämför med elektron med energin E=K=10eV. Vet K=(p^2)/(2m) => sqrt(2mK) => lambda=h/sqrt(2mK)=6.6/sqrt(2*m_e*1eV*10)m = 4.0*10^-10 m
Detta är en mycket större våglängd än vad vi fick förut. Detta väsentligen för att massa/hastighet relationen är väldigt olika.

Heisenbergs obestämhetsrelation

Detta är ett ofta missuppfattat område inom fysiken. Vi betecknar obestämdheten i läge som Deltax och obestämdhet i rörelsemängd Deltap_x i samma riktning.

Här gäller Deltax Deltap_x >= ℏ/2 .
Motsvarande gäller i y-led: Deltay Deltap_y >= ℏ/2

Detta har med Fouriertransform att göra.
Warning: Incoming transformteori


F{delta(color(blue)(t)-t_0)} = e^-(j color(blue)(omega) t_0)
F{e^-(jomega_0color(blue)(t))} = 2pidelta(color(blue)(omega)-omega_0)
Observera att om vi fouriertransformerar så vinns/förloras information om variabler (markerat i blått).

Innan transformen så vet vi väldigt mycket om när saker händer, men inte vilka frekvenser som finns.
Efter transformen så vet vi ingenting om när något händer, men vilka frekvenser som finns.

Sverre har ett riktigt bra joke för detta.

Schrödinger och Heisenberg är ute och åker i en bil.

S: Har du någon aning om hur fort du kör?
H: Nej, men jag var jag är!

Då går Heisenberg ut ur bilen och kollar i bakluckan.

H: Det är en död katt i bakluckan! Visste du det?
S: Nej, men nu vet jag det med säkerhet!

Det visar sig också att DeltaE Deltat >= ℏ/2

Schrödingerekvationen är ett exempel på en 'brute force' ekvation. Den har ingen härledning men kan verifieras experimentellt.

Schrödingerekvationen för (materivåg)partikel:

Hela multidimensionella ekvationen: -ℏ^2/(2m) grad^2 Psi(vecr,t)+U(vecr,t) Psi(vecr,t) = iℏ (del Psi(vecr,t))/(delt), grad^2=(del^2)/(del x^2)+(del^2)/(del y^2)+(del^2)/(del z^2)
där U är potentiell energi och Psi(vecr,t) är vågfunktionen.
Vi kommer dock att begränsa oss till en dimension:
(**) -ℏ^2/(2m) (del^2 Psi)/(del x^2) + U(x)Psi=iℏ (del Psi)/(del t)

Tolkning av Psi: |Psi|^2 Deltax larr Sannolikhet att hitta partikeln inom längdintervallet Deltax
Om Psi representerar en partikel så gäller int_-oo^oo |Psi(x)|^2 dx = 1 larr Normeringsvillkor.

Vi tittar ofta på sk. stationära lösningar, där vågfunktionen Psi är en funktion av t , men att beloppet av Psi i kvadrat är tidsinvariant, som ovan.

Antag x,t -beroendet som 'seperat', som här: Psi(x,t)=psi(x)e^-(jomegat), där ℏomega=E
|Psi(x,t)|^2=Psi(x)*bar(psi(x,t))=psi(x)e^(-iomegat)*bar(psi(x)e^-(iomegat))=psi(x) bar(psi(x)) *obrace(e^-(iomegat)*e^(iomegat))^(1)=|psi(x)|^2 larr Observera tidsinvariansen!

Nu petar vi in detta i Schrödingerekvationen (**).

-ℏ^2/(2m) del^2/(delx^2) (psi(x)e^-(iomegat)) + U(x) psi(x) e^(-iomegat)=iℏ del/(del t)(psi(x)e^(-iomegat))
e^(-iomegat)(-ℏ^2/(2m) (d^2 psi)/(dx^2) + U(x)psi(x)) = iℏ(-iomega)e^(-iomegat) psi(x)
iff

-ℏ^2/(2m) (d^2 psi)/(dx^2)+U(x) psi(x) = E psi(x)

Varken Hindgren eller Sverre har lärt oss att lösa diffekvationer med ickekonstanta koefficienter, så U(x) behöver vara konstant för att det här ska vara lösbart på papper.

Fortran skapades för att beräkna lösningar till Schrödingerekvationen.

Har vi några lösningar?
U=0 är en trivial lösning. E=K=p^2/(2m) larr "Fri" partikel. -ℏ^2/(2m) (d^2psi)/(dx^2)=Epsi iff psi''(x)= obrace(-(2mE)/(-ℏ^2))^(k^2) psi(x)
iff psi''(x)=-k^2 psi(x) = {(asin(kx)+bcos(kx)),(Ae^(ikx)+Be^(-ikx)):}

2mE/(ℏ^2)=k^2 iff E=(ℏ^2k^2)/(2m).
E=p^2/(2m) => p=ℏk=p_x

Antag B=0.
=> Psi(x,t)=Ae^(ikx)*e^(-iomegat)=Ae^(i(kx-omegat))
ℏomega=(ℏ^2k^2)/(2m) iff omega=(ℏk^2)/(2m) ~ k^2 . Alltså omega är en funktion av k .
|Psi(x,t)|^2=|A|^2="konstant". int_-oo^oo |A|^2dx -> oo (!!)
Varför skiter sig normeringen för B=0 ? Jo, för att sannolikstätheten för att finna en elektron är konstant.
Obestämdheten här är noll, iom att p bara beror på k !
Kom ihåg att Deltax Deltap_x >= ℏ/2 iff Deltax >= (ℏ/2)/(Deltap_x)